Topologieerhaltendes Lernen neuronaler Operatoren mittels Hodge-Zerlegung

Zusammenfassung

In dieser Arbeit untersuchen wir Lösungsoperatoren physikalischer Feldgleichungen auf geometrischen Gittern aus einer funktionalanalytischen Perspektive. Wir zeigen, dass die Hodge-Orthogonalität spektrale Interferenzen grundlegend auflöst, indem sie nicht lernbare topologische Freiheitsgrade von lernbaren geometrischen Dynamiken trennt und so eine additive Approximation ermöglicht, die auf strukturerhaltende Unterräume beschränkt ist. Aufbauend auf der Hodge-Theorie und dem Operator-Splitting leiten wir eine prinzipielle Zerlegung auf Operatorebene ab. Das Ergebnis ist eine hybride Euler-Lagrange-Architektur mit einer induktiven Verzerrung auf algebraischer Ebene, die wir als Hodge-Spektral-Dualität (HSD) bezeichnen. In unserem Rahmenwerk verwenden wir diskrete Differentialformen zur Erfassung topologisch dominierter Komponenten und einen orthogonalen Hilfsraum zur Darstellung komplexer lokaler Dynamiken. Unsere Methode erzielt überlegene Genauigkeit und Effizienz auf geometrischen Graphen bei verbesserter Wiedergabetreue physikalischer Invarianten. Unser Code ist verfügbar unter https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality.

English

In this paper, we study solution operators of physical field equations on geometric meshes from a function-space perspective. We reveal that Hodge orthogonality fundamentally resolves spectral interference by isolating unlearnable topological degrees of freedom from learnable geometric dynamics, enabling an additive approximation confined to structure-preserving subspaces. Building on Hodge theory and operator splitting, we derive a principled operator-level decomposition. The result is a Hybrid Eulerian-Lagrangian architecture with an algebraic-level inductive bias we call Hodge Spectral Duality (HSD). In our framework, we use discrete differential forms to capture topology-dominated components and an orthogonal auxiliary ambient space to represent complex local dynamics. Our method achieves superior accuracy and efficiency on geometric graphs with enhanced fidelity to physical invariants. Our code is available at https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality