DMD multiplicatif intégré en profondeur pour l'apprentissage de Koopman préservant l'algèbre

Résumé

La théorie de Koopman transforme la dynamique non linéaire en un problème spectral linéaire. En calcul, cependant, tout repose sur un choix difficile en dimension finie : les observables doivent être expressives, presque invariantes sous la dynamique, et idéalement compatibles avec la composition. Les méthodes de Koopman profondes apprennent des coordonnées flexibles, tandis que les méthodes préservant la structure imposent des identités opérateur sur des dictionnaires fixes. Nous combinons ces idées en introduisant la Décomposition en Modes Dynamiques Multiplicative Profondément Intégrée (DeepMDMD), une méthode qui apprend un espace latent et une partition de celui-ci, tout en imposant la règle produit de Koopman comme contrainte algébrique exacte. L'entraînement alterne entre une mise à jour multiplicative exacte de l'opérateur et une étape de regroupement latent différentiable qui favorise la fermeture de Koopman. Le résultat est une application de transition finie sur des cellules latentes apprises. Son spectre non nul se trouve sur le cercle unité, son dictionnaire est façonné par la dynamique plutôt que par la géométrie ambiante, et les prévisions sont effectuées en coordonnées latentes avant d'être décodées dans l'espace physique. Sur des exemples hamiltoniens, chaotiques et fluides, DeepMDMD apprend des dictionnaires bien plus compacts et dynamiquement cohérents que ceux produits par les partitions géométriques MDMD. Elle réduit la pollution spectrale, révèle une structure de spectre continu plus riche et fournit des prévisions stables même en présence de bruit sévère. Dans les écoulements en haute dimension, y compris un sillage de cylindre à 158 624 dimensions et une cavité entraînée par couvercle bruyante à Re=20 000, elle préserve les structures cohérentes et les statistiques spectrales à long terme là où la MDMD dans l'espace d'état échoue. Ces résultats suggèrent une règle pratique pour l'apprentissage de Koopman : apprenez les coordonnées, contraignez l'algèbre.

English

Koopman theory turns nonlinear dynamics into a linear spectral problem. In computation, however, everything depends on a hard finite-dimensional choice: the observables must be expressive, nearly invariant under the dynamics, and, ideally, compatible with composition. Deep Koopman methods learn flexible coordinates, whereas structure-preserving methods enforce operator identities on fixed dictionaries. We combine these ideas by introducing Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition (DeepMDMD), a method that learns a latent space and a partition of it, while enforcing the Koopman product rule as an exact algebraic constraint. Training alternates between an exact multiplicative operator update and a differentiable latent-clustering step that promotes Koopman closure. The result is a finite transition map on learned latent cells. Its nonzero spectrum lies on the unit circle, its dictionary is shaped by the dynamics rather than by ambient geometry, and forecasts are made in latent coordinates before being decoded to physical space. Across Hamiltonian, chaotic, and fluid examples, DeepMDMD learns dictionaries that are far more compact and dynamically coherent than those produced by geometric MDMD partitions. It reduces spectral pollution, reveals richer continuous-spectrum structure, and gives stable forecasts under severe noise. In high-dimensional flows, including a 158,624-dimensional cylinder wake and a noisy Re=20,000 lid-driven cavity, it preserves coherent structures and long-time spectral statistics where state-space MDMD fails. These results suggest a practical rule for Koopman learning: learn the coordinates, constrain the algebra.