Le serpent dans la sphère brownienne

The snake in the Brownian sphere

February 18, 2025

Auteurs: Omer Angel, Emmanuel Jacob, Brett Kolesnik, Grégory Miermont

cs.AI

Résumé

La sphère brownienne est un espace métrique aléatoire, homéomorphe à la sphère bidimensionnelle, qui émerge comme la limite d'échelle universelle de nombreux types de cartes planaires aléatoires. La construction directe de la sphère brownienne passe par un analogue continu de la bijection de Cori-Vauquelin-Schaeffer (CVS). La bijection CVS associe des arbres étiquetés à des cartes planaires, et sa version continue associe l'arbre aléatoire continu d'Aldous avec des étiquettes browniennes (le serpent brownien) à la sphère brownienne. Dans ce travail, nous décrivons l'inverse de la bijection CVS continue, en construisant le serpent brownien comme une fonction mesurable de la sphère brownienne. Une attention particulière est nécessaire pour traiter l'orientation de la sphère brownienne.

English

The Brownian sphere is a random metric space, homeomorphic to the two-dimensional sphere, which arises as the universal scaling limit of many types of random planar maps. The direct construction of the Brownian sphere is via a continuous analogue of the Cori--Vauquelin--Schaeffer (CVS) bijection. The CVS bijection maps labeled trees to planar maps, and the continuous version maps Aldous' continuum random tree with Brownian labels (the Brownian snake) to the Brownian sphere. In this work, we describe the inverse of the continuous CVS bijection, by constructing the Brownian snake as a measurable function of the Brownian sphere. Special care is needed to work with the orientation of the Brownian sphere.