Apprentissage d'opérateurs neuronaux préservant la topologie via la décomposition de Hodge

Résumé

Dans cet article, nous étudions les opérateurs de solution des équations de champ physiques sur des maillages géométriques dans une perspective d'espaces fonctionnels. Nous révélons que l'orthogonalité de Hodge résout fondamentalement l'interférence spectrale en isolant les degrés de liberté topologiques non apprenables des dynamiques géométriques apprenables, permettant ainsi une approximation additive confinée à des sous-espaces préservant la structure. En nous appuyant sur la théorie de Hodge et la décomposition d'opérateurs, nous dérivons une décomposition au niveau de l'opérateur fondée sur des principes. Le résultat est une architecture hybride eulérienne-lagrangienne avec un biais inductif au niveau algébrique que nous appelons dualité spectrale de Hodge (HSD). Dans notre cadre, nous utilisons des formes différentielles discrètes pour capturer les composants dominés par la topologie et un espace ambiant auxiliaire orthogonal pour représenter les dynamiques locales complexes. Notre méthode atteint une précision et une efficacité supérieures sur les graphes géométriques, avec une fidélité accrue aux invariants physiques. Notre code est disponible à l'adresse https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality.

English

In this paper, we study solution operators of physical field equations on geometric meshes from a function-space perspective. We reveal that Hodge orthogonality fundamentally resolves spectral interference by isolating unlearnable topological degrees of freedom from learnable geometric dynamics, enabling an additive approximation confined to structure-preserving subspaces. Building on Hodge theory and operator splitting, we derive a principled operator-level decomposition. The result is a Hybrid Eulerian-Lagrangian architecture with an algebraic-level inductive bias we call Hodge Spectral Duality (HSD). In our framework, we use discrete differential forms to capture topology-dominated components and an orthogonal auxiliary ambient space to represent complex local dynamics. Our method achieves superior accuracy and efficiency on geometric graphs with enhanced fidelity to physical invariants. Our code is available at https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality