現代的最適化とAlphaEvolveによる行列乗算指数の改善

要旨

行列積の指数ωに関する現在の最良の上界は、レーザー法の改良である組合せ損失解析（Duan et al., 2022; Williams et al., 2024; Alman et al., 2025）によって得られている。本ノートでは、この手法の中核にある最適化問題に取り組み、いくつかの改善を提案する。第一に、最適化問題を再定式化し、従来よりも広い設定で解くことを可能にする。第二に、機械学習における最近の進展を活用し、この問題に対する新たな最適化アルゴリズムを設計する。最後に、得られた最適化アルゴリズムをAlphaEvolveによって洗練させる。これらの手法を組み合わせることで、ω < 2.371177という上界が得られ、従来の最良の上界である2.371339を改善する。

English

The current best bounds on the matrix multiplication exponent ω are obtained through a refinement of the laser method called combination loss analysis (Duan et al., 2022; Williams et al., 2024; Alman et al., 2025). In this note, we address the optimization problem at the core of this approach and propose several improvements. First, we reformulate the optimization problem allowing us to solve it in a larger setting than was previously possible. Second, we leverage recent advances in machine learning to design a new optimization algorithm for this problem. Finally, we refine the resulting optimization algorithm with AlphaEvolve. Our combined approach yields an upper bound of ω < 2.371177, improving the previous best bound of 2.371339.