代数保存型クープマン学習のための深層埋め込み乗法的DMD

要旨

Koopman理論は非線形力学を線形スペクトル問題に変換する。しかし、計算においてはすべてが困難な有限次元の選択に依存する。すなわち、観測量は表現力豊かで、力学の下でほぼ不変であり、理想的には合成と互換性がある必要がある。深層Koopman法は柔軟な座標を学習するのに対し、構造保存法は固定された辞書に対して演算子の恒等式を強制する。我々はこれらのアイデアを組み合わせ、Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition（DeepMDMD）を導入する。この手法は潜在空間とその分割を学習すると同時に、Koopman積則を厳密な代数的制約として強制する。学習は、厳密な乗法的演算子更新と、Koopman閉包を促進する微分可能な潜在クラスタリングステップを交互に行う。その結果、学習された潜在セル上の有限遷移写像が得られる。その非零スペクトルは単位円上にあり、辞書は周辺幾何学ではなく力学によって形成され、予測は潜在座標で行われた後、物理空間に復号される。ハミルトン系、カオス系、流体の例にわたって、DeepMDMDは幾何学的MDMD分割によって生成されたものよりもはるかにコンパクトで動的にコヒーレントな辞書を学習する。スペクトル汚染を低減し、より豊かな連続スペクトル構造を明らかにし、激しいノイズ下でも安定した予測を提供する。158,624次元の円柱後流やノイズを含むRe=20,000の蓋駆動キャビティなどの高次元流れにおいて、状態空間MDMDが失敗する場面で、コヒーレント構造と長時間のスペクトル統計を保存する。これらの結果は、Koopman学習の実用的なルールを示唆している。すなわち、座標を学習し、代数を制約せよ。

English

Koopman theory turns nonlinear dynamics into a linear spectral problem. In computation, however, everything depends on a hard finite-dimensional choice: the observables must be expressive, nearly invariant under the dynamics, and, ideally, compatible with composition. Deep Koopman methods learn flexible coordinates, whereas structure-preserving methods enforce operator identities on fixed dictionaries. We combine these ideas by introducing Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition (DeepMDMD), a method that learns a latent space and a partition of it, while enforcing the Koopman product rule as an exact algebraic constraint. Training alternates between an exact multiplicative operator update and a differentiable latent-clustering step that promotes Koopman closure. The result is a finite transition map on learned latent cells. Its nonzero spectrum lies on the unit circle, its dictionary is shaped by the dynamics rather than by ambient geometry, and forecasts are made in latent coordinates before being decoded to physical space. Across Hamiltonian, chaotic, and fluid examples, DeepMDMD learns dictionaries that are far more compact and dynamically coherent than those produced by geometric MDMD partitions. It reduces spectral pollution, reveals richer continuous-spectrum structure, and gives stable forecasts under severe noise. In high-dimensional flows, including a 158,624-dimensional cylinder wake and a noisy Re=20,000 lid-driven cavity, it preserves coherent structures and long-time spectral statistics where state-space MDMD fails. These results suggest a practical rule for Koopman learning: learn the coordinates, constrain the algebra.