ホッジ分解による位相保存ニューラルオペレーター学習

要旨

本論文では、幾何学的メッシュ上の物理場方程式の解作用素を関数空間の観点から研究する。我々は、ホッジ直交性が、学習不可能な位相的自由度を学習可能な幾何学的動力学から分離することでスペクトル干渉を根本的に解決し、構造保存部分空間に限定された加法的近似を可能にすることを明らかにする。ホッジ理論と作用素分割に基づき、原理的な作用素レベルの分解を導出する。その結果、我々がホッジスペクトル双対性（HSD）と呼ぶ代数的レベルの帰納的バイアスを備えたハイブリッド・オイラー・ラグランジュアーキテクチャが得られる。本フレームワークでは、離散微分形式を用いて位相支配成分を捉え、直交する補助外部空間を用いて複雑な局所動力学を表現する。本手法は、幾何学的グラフ上において、物理不変量への忠実性を高めつつ、優れた精度と効率を達成する。我々のコードは https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality で公開されている。

English

In this paper, we study solution operators of physical field equations on geometric meshes from a function-space perspective. We reveal that Hodge orthogonality fundamentally resolves spectral interference by isolating unlearnable topological degrees of freedom from learnable geometric dynamics, enabling an additive approximation confined to structure-preserving subspaces. Building on Hodge theory and operator splitting, we derive a principled operator-level decomposition. The result is a Hybrid Eulerian-Lagrangian architecture with an algebraic-level inductive bias we call Hodge Spectral Duality (HSD). In our framework, we use discrete differential forms to capture topology-dominated components and an orthogonal auxiliary ambient space to represent complex local dynamics. Our method achieves superior accuracy and efficiency on geometric graphs with enhanced fidelity to physical invariants. Our code is available at https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality