대수 보존 쿠프만 학습을 위한 심층 내장 곱셈 DMD

초록

쿠프만 이론은 비선형 역학을 선형 스펙트럼 문제로 변환한다. 그러나 계산에서는 모든 것이 어려운 유한 차원 선택에 달려 있다. 즉, 관측 가능량은 표현력이 뛰어나야 하고, 역학 하에서 거의 불변해야 하며, 이상적으로는 합성과 호환되어야 한다. 심층 쿠프만 방법은 유연한 좌표를 학습하는 반면, 구조 보존 방법은 고정된 사전에 연산자 항등식을 강제한다. 우리는 이 두 아이디어를 결합하여 심층 임베디드 곱셈 동적 모드 분해(DeepMDMD)를 도입한다. 이 방법은 잠재 공간과 그 분할을 학습하는 동시에 쿠프만 곱 규칙을 정확한 대수적 제약 조건으로 강제한다. 훈련은 정확한 곱셈 연산자 업데이트와 쿠프만 폐쇄를 촉진하는 미분 가능한 잠재 군집화 단계를 번갈아 수행한다. 그 결과는 학습된 잠재 셀에 대한 유한 전이 맵이다. 그 비제로 스펙트럼은 단위 원 위에 있으며, 사전은 주변 기하학이 아닌 역학에 의해 형성되고, 예측은 물리 공간으로 디코딩되기 전에 잠재 좌표에서 수행된다. 해밀토니언, 혼돈, 유체 예제에 걸쳐 DeepMDMD는 기하학적 MDMD 분할에 의해 생성된 것보다 훨씬 더 간결하고 역학적으로 응집된 사전을 학습한다. 스펙트럼 오염을 줄이고, 더 풍부한 연속 스펙트럼 구조를 드러내며, 심각한 잡음 하에서도 안정적인 예측을 제공한다. 158,624차원의 원주 후류와 잡음이 있는 Re=20,000 덮개 구동 공동을 포함한 고차원 유동에서, 상태 공간 MDMD가 실패하는 곳에서 응집 구조와 장기 스펙트럼 통계를 보존한다. 이러한 결과는 쿠프만 학습에 대한 실용적인 규칙을 제안한다: 좌표를 학습하고, 대수를 제약하라.

English

Koopman theory turns nonlinear dynamics into a linear spectral problem. In computation, however, everything depends on a hard finite-dimensional choice: the observables must be expressive, nearly invariant under the dynamics, and, ideally, compatible with composition. Deep Koopman methods learn flexible coordinates, whereas structure-preserving methods enforce operator identities on fixed dictionaries. We combine these ideas by introducing Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition (DeepMDMD), a method that learns a latent space and a partition of it, while enforcing the Koopman product rule as an exact algebraic constraint. Training alternates between an exact multiplicative operator update and a differentiable latent-clustering step that promotes Koopman closure. The result is a finite transition map on learned latent cells. Its nonzero spectrum lies on the unit circle, its dictionary is shaped by the dynamics rather than by ambient geometry, and forecasts are made in latent coordinates before being decoded to physical space. Across Hamiltonian, chaotic, and fluid examples, DeepMDMD learns dictionaries that are far more compact and dynamically coherent than those produced by geometric MDMD partitions. It reduces spectral pollution, reveals richer continuous-spectrum structure, and gives stable forecasts under severe noise. In high-dimensional flows, including a 158,624-dimensional cylinder wake and a noisy Re=20,000 lid-driven cavity, it preserves coherent structures and long-time spectral statistics where state-space MDMD fails. These results suggest a practical rule for Koopman learning: learn the coordinates, constrain the algebra.