브라운 구체 속의 뱀

The snake in the Brownian sphere

February 18, 2025

저자: Omer Angel, Emmanuel Jacob, Brett Kolesnik, Grégory Miermont

cs.AI

초록

브라운 구(Brownian sphere)는 2차원 구와 위상동형인 임의의 거리 공간으로, 다양한 유형의 무작위 평면 지도(random planar maps)의 보편적 스케일링 극한으로 나타난다. 브라운 구의 직접적인 구성은 코리-보클랭-샤페(Cori-Vauquelin-Schaeffer, CVS) 대응의 연속적 유사체를 통해 이루어진다. CVS 대응은 레이블이 붙은 트리를 평면 지도로 매핑하며, 연속 버전은 브라운 레이블이 부여된 앨더스의 연속 무작위 트리(브라운 뱀, Brownian snake)를 브라운 구로 매핑한다. 본 연구에서는 브라운 구의 측정 가능한 함수로서 브라운 뱀을 구성함으로써 연속 CVS 대응의 역을 설명한다. 특히 브라운 구의 방향성을 다루기 위해 특별한 주의가 필요하다.

English

The Brownian sphere is a random metric space, homeomorphic to the two-dimensional sphere, which arises as the universal scaling limit of many types of random planar maps. The direct construction of the Brownian sphere is via a continuous analogue of the Cori--Vauquelin--Schaeffer (CVS) bijection. The CVS bijection maps labeled trees to planar maps, and the continuous version maps Aldous' continuum random tree with Brownian labels (the Brownian snake) to the Brownian sphere. In this work, we describe the inverse of the continuous CVS bijection, by constructing the Brownian snake as a measurable function of the Brownian sphere. Special care is needed to work with the orientation of the Brownian sphere.