호지 분해를 통한 위상 보존 신경 연산자 학습

초록

본 논문에서는 함수 공간 관점에서 기하적 메쉬 상의 물리장 방정식에 대한 해 연산자를 연구한다. 우리는 호지 직교성이 학습 불가능한 위상적 자유도를 학습 가능한 기하적 동역학으로부터 분리함으로써 스펙트럼 간섭을 근본적으로 해결하며, 이를 통해 구조 보존 부분공간에 국한된 덧셈적 근사를 가능하게 함을 밝힌다. 호지 이론과 연산자 분할에 기반하여, 우리는 원칙적인 연산자 수준 분해를 유도한다. 그 결과는 우리가 호지 스펙트럼 쌍대성(HSD)이라고 부르는 대수적 수준의 귀납적 편향을 지닌 혼합 오일러-라그랑주 아키텍처이다. 우리의 프레임워크에서는 이산 미분 형식을 사용하여 위상이 지배하는 성분을 포착하고, 직교하는 보조 외부 공간을 사용하여 복잡한 국소 동역학을 표현한다. 본 방법은 기하적 그래프에서 물리적 불변량에 대한 충실도가 향상된 우수한 정확도와 효율성을 달성한다. 코드는 https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality 에서 확인할 수 있다.

English

In this paper, we study solution operators of physical field equations on geometric meshes from a function-space perspective. We reveal that Hodge orthogonality fundamentally resolves spectral interference by isolating unlearnable topological degrees of freedom from learnable geometric dynamics, enabling an additive approximation confined to structure-preserving subspaces. Building on Hodge theory and operator splitting, we derive a principled operator-level decomposition. The result is a Hybrid Eulerian-Lagrangian architecture with an algebraic-level inductive bias we call Hodge Spectral Duality (HSD). In our framework, we use discrete differential forms to capture topology-dominated components and an orthogonal auxiliary ambient space to represent complex local dynamics. Our method achieves superior accuracy and efficiency on geometric graphs with enhanced fidelity to physical invariants. Our code is available at https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality