Diep ingebedde multiplicatieve DMD voor algebra-behoudend Koopmanleren

Samenvatting

De Koopman-theorie zet niet-lineaire dynamica om in een lineair spectraalprobleem. In de praktijk hangt echter alles af van een harde eindig-dimensionale keuze: de observabelen moeten expressief zijn, bijna invariant onder de dynamica en idealiter compatibel met compositie. Diepe Koopman-methoden leren flexibele coördinaten, terwijl structuurbehoudende methoden operatoridentiteiten afdwingen op vaste dictionaries. Wij combineren deze ideeën door Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition (DeepMDMD) te introduceren, een methode die een latente ruimte en een partitie ervan leert, terwijl de Koopman-productregel als exacte algebraïsche beperking wordt opgelegd. De training alterneert tussen een exacte multiplicatieve operatorupdate en een differentieerbare latente-clusteringstap die Koopman-afsluiting bevordert. Het resultaat is een eindige transitieafbeelding op geleerde latente cellen. Het niet-nulspectrum ligt op de eenheidscirkel, de dictionary wordt gevormd door de dynamica in plaats van door de omgevingsgeometrie, en voorspellingen worden in latente coördinaten gemaakt voordat ze naar de fysieke ruimte worden gedecodeerd. In Hamiltoniaanse, chaotische en vloeistofvoorbeelden leert DeepMDMD dictionaries die aanzienlijk compacter en dynamisch coherent zijn dan die geproduceerd door geometrische MDMD-partities. Het vermindert spectrale vervuiling, onthult rijkere continuümspectrumstructuur en geeft stabiele voorspellingen onder ernstige ruis. In hoogdimensionale stromingen, waaronder een 158.624-dimensionale cilinderzog en een ruizige Re=20.000 dekselgedreven holte, behoudt het coherente structuren en lange-termijn spectraalstatistieken waar toestandsruimte-MDMD faalt. Deze resultaten suggereren een praktische vuistregel voor Koopman-leren: leer de coördinaten, beperk de algebra.

English

Koopman theory turns nonlinear dynamics into a linear spectral problem. In computation, however, everything depends on a hard finite-dimensional choice: the observables must be expressive, nearly invariant under the dynamics, and, ideally, compatible with composition. Deep Koopman methods learn flexible coordinates, whereas structure-preserving methods enforce operator identities on fixed dictionaries. We combine these ideas by introducing Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition (DeepMDMD), a method that learns a latent space and a partition of it, while enforcing the Koopman product rule as an exact algebraic constraint. Training alternates between an exact multiplicative operator update and a differentiable latent-clustering step that promotes Koopman closure. The result is a finite transition map on learned latent cells. Its nonzero spectrum lies on the unit circle, its dictionary is shaped by the dynamics rather than by ambient geometry, and forecasts are made in latent coordinates before being decoded to physical space. Across Hamiltonian, chaotic, and fluid examples, DeepMDMD learns dictionaries that are far more compact and dynamically coherent than those produced by geometric MDMD partitions. It reduces spectral pollution, reveals richer continuous-spectrum structure, and gives stable forecasts under severe noise. In high-dimensional flows, including a 158,624-dimensional cylinder wake and a noisy Re=20,000 lid-driven cavity, it preserves coherent structures and long-time spectral statistics where state-space MDMD fails. These results suggest a practical rule for Koopman learning: learn the coordinates, constrain the algebra.