Aperiodische structuren storten nooit in: Fibonacci-hierarchieën voor verliesloze compressie

Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

March 16, 2026

Auteurs: Roberto Tacconelli

cs.AI

Samenvatting

Wij onderzoeken of een aperiodieke hiërarchie een structureel voordeel kan bieden voor verliesloze compressie ten opzichte van periodieke alternatieven. Wij tonen aan dat Fibonacci-quasikristal-betegelingen het eindige-diepte-instorten vermijden dat periodieke hiërarchieën treft: bruikbare n-gram zoekposities blijven op elk niveau niet-nul, terwijl periodieke betegelingen instorten na O(log p) niveaus voor periode p. Dit resulteert in een aperiodiek hiërarchievoordeel: hergebruik van het woordenboek blijft beschikbaar over alle schalen in plaats van te verdwijnen voorbij een eindige diepte. Onze analyse levert vier hoofdconsequenties op. Ten eerste toont de Gulden-Snede-compensatie-eigenschap aan dat de exponentiële afname in het aantal posities exact in evenwicht wordt gehouden door de exponentiële groei in zinsnedelengte, zodat de potentiële dekking schaalinvariant blijft met asymptotische waarde Wφ/5. Ten tweede, gebruikmakend van de Sturmische complexiteitswet p(n)=n+1, tonen wij aan dat Fibonacci/Sturmische hiërarchieën de efficiëntie van codeboekdekking maximaliseren onder binaire aperiodieke betegelingen. Ten derde, onder langetermijnafhankelijkheid, bereikt de resulterende hiërarchie een lagere coderingsentropie dan vergelijkbare periodieke hiërarchieën. Ten vierde vervalt redundantie super-exponentieel met de diepte, terwijl periodieke systemen opgesloten blijven op de diepte waar het instorten optreedt. Wij valideren deze resultaten met Quasicryth, een verliesloze tekstcompressor gebouwd op een tien niveaus tellende Fibonacci-hiërarchie met zinsnedelengtes {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In gecontroleerde A/B-experimenten met identieke codebooks groeit het aperiodieke voordeel ten opzichte van een Periode-5-basislijn van 36.243 B bij 3 MB tot 11.089.469 B bij 1 GB, wat verklaard wordt door de activering van diepere hiërarchieniveaus. Op enwik9 behaalt Quasicryth 225.918.349 B (22,59%), waarbij 20.735.733 B wordt bespaard door de Fibonacci-betegeling ten opzichte van geen betegeling.

English

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable n-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after O(log p) levels for period p. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value Wvarphi/5. Second, using the Sturmian complexity law p(n)=n+1, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from 36{,}243 B at 3 MB to 11{,}089{,}469 B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves 225{,}918{,}349 B (22.59%), with 20{,}735{,}733 B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.