Topologiebehoudend neuraal operatorleren via Hodge-decompositie

Samenvatting

In dit artikel bestuderen we oplossingsoperatoren van fysische veldvergelijkingen op geometrische meshes vanuit een functionaalruimteperspectief. We tonen aan dat Hodge-orthogonaliteit spectrale interferentie fundamenteel oplost door niet-leerbare topologische vrijheidsgraden te isoleren van leerbare geometrische dynamica, wat een additieve benadering mogelijk maakt die beperkt blijft tot structuurbehoudende deelruimten. Gebaseerd op de Hodge-theorie en operatorsplitsing leiden we een principiële operatorniveau-ontbinding af. Het resultaat is een hybride Eulerisch-Lagrangiaanse architectuur met een algebraïsche inductieve bias die we Hodge Spectrale Dualiteit (HSD) noemen. In ons raamwerk gebruiken we discrete differentiaalvormen om topologiegedomineerde componenten vast te leggen en een orthogonale hulpruimte om complexe lokale dynamica te representeren. Onze methode behaalt superieure nauwkeurigheid en efficiëntie op geometrische grafen met een verbeterde trouw aan fysische invarianten. Onze code is beschikbaar op https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality.

English

In this paper, we study solution operators of physical field equations on geometric meshes from a function-space perspective. We reveal that Hodge orthogonality fundamentally resolves spectral interference by isolating unlearnable topological degrees of freedom from learnable geometric dynamics, enabling an additive approximation confined to structure-preserving subspaces. Building on Hodge theory and operator splitting, we derive a principled operator-level decomposition. The result is a Hybrid Eulerian-Lagrangian architecture with an algebraic-level inductive bias we call Hodge Spectral Duality (HSD). In our framework, we use discrete differential forms to capture topology-dominated components and an orthogonal auxiliary ambient space to represent complex local dynamics. Our method achieves superior accuracy and efficiency on geometric graphs with enhanced fidelity to physical invariants. Our code is available at https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality