DMD Multiplicativa Profundamente Incorporada para Aprendizado de Koopman que Preserva Álgebra

Resumo

A teoria de Koopman transforma dinâmicas não lineares em um problema espectral linear. Na computação, contudo, tudo depende de uma escolha difícil em dimensão finita: os observáveis devem ser expressivos, aproximadamente invariantes sob a dinâmica e, idealmente, compatíveis com composição. Métodos profundos de Koopman aprendem coordenadas flexíveis, enquanto métodos que preservam estrutura impõem identidades de operadores em dicionários fixos. Combinamos essas ideias ao introduzir a Decomposição em Modos Dinâmicos Multiplicativa com Incorporação Profunda (DeepMDMD), um método que aprende um espaço latente e uma partição dele, ao mesmo tempo em que impõe a regra do produto de Koopman como uma restrição algébrica exata. O treinamento alterna entre uma atualização exata do operador multiplicativo e uma etapa de agrupamento latente diferenciável que promove o fecho de Koopman. O resultado é um mapa de transição finito sobre células latentes aprendidas. Seu espectro não nulo situa-se no círculo unitário, seu dicionário é moldado pela dinâmica, e não pela geometria ambiente, e as previsões são feitas em coordenadas latentes antes de serem decodificadas para o espaço físico. Através de exemplos Hamiltonianos, caóticos e de fluidos, o DeepMDMD aprende dicionários muito mais compactos e dinamicamente coerentes do que aqueles produzidos por partições MDMD geométricas. Reduz a poluição espectral, revela estrutura de espectro contínuo mais rica e fornece previsões estáveis sob ruído severo. Em escoamentos de alta dimensão, incluindo uma esteira de cilindro com 158.624 dimensões e uma cavidade com tampa deslizante ruidosa com Re=20.000, ele preserva estruturas coerentes e estatísticas espectrais de longo prazo onde o MDMD no espaço de estados falha. Esses resultados sugerem uma regra prática para o aprendizado de Koopman: aprenda as coordenadas, restrinja a álgebra.

English

Koopman theory turns nonlinear dynamics into a linear spectral problem. In computation, however, everything depends on a hard finite-dimensional choice: the observables must be expressive, nearly invariant under the dynamics, and, ideally, compatible with composition. Deep Koopman methods learn flexible coordinates, whereas structure-preserving methods enforce operator identities on fixed dictionaries. We combine these ideas by introducing Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition (DeepMDMD), a method that learns a latent space and a partition of it, while enforcing the Koopman product rule as an exact algebraic constraint. Training alternates between an exact multiplicative operator update and a differentiable latent-clustering step that promotes Koopman closure. The result is a finite transition map on learned latent cells. Its nonzero spectrum lies on the unit circle, its dictionary is shaped by the dynamics rather than by ambient geometry, and forecasts are made in latent coordinates before being decoded to physical space. Across Hamiltonian, chaotic, and fluid examples, DeepMDMD learns dictionaries that are far more compact and dynamically coherent than those produced by geometric MDMD partitions. It reduces spectral pollution, reveals richer continuous-spectrum structure, and gives stable forecasts under severe noise. In high-dimensional flows, including a 158,624-dimensional cylinder wake and a noisy Re=20,000 lid-driven cavity, it preserves coherent structures and long-time spectral statistics where state-space MDMD fails. These results suggest a practical rule for Koopman learning: learn the coordinates, constrain the algebra.