Aprendizado de Operadores Neurais com Preservação de Topologia via Decomposição de Hodge

Resumo

Neste artigo, estudamos operadores de solução de equações de campo físico em malhas geométricas sob uma perspectiva de espaço de funções. Revelamos que a ortogonalidade de Hodge resolve fundamentalmente a interferência espectral ao isolar graus de liberdade topológicos não aprendíveis das dinâmicas geométricas aprendíveis, possibilitando uma aproximação aditiva confinada a subespaços que preservam estrutura. Com base na teoria de Hodge e na divisão de operadores, derivamos uma decomposição fundamentada em nível de operador. O resultado é uma arquitetura Híbrida Euleriana-Lagrangeana com um viés indutivo em nível algébrico que denominamos Dualidade Espectral de Hodge (HSD). Em nossa estrutura, utilizamos formas diferenciais discretas para capturar componentes dominadas pela topologia e um espaço ambiente auxiliar ortogonal para representar dinâmicas locais complexas. Nosso método alcança precisão e eficiência superiores em grafos geométricos, com fidelidade aprimorada aos invariantes físicos. Nosso código está disponível em https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality.

English

In this paper, we study solution operators of physical field equations on geometric meshes from a function-space perspective. We reveal that Hodge orthogonality fundamentally resolves spectral interference by isolating unlearnable topological degrees of freedom from learnable geometric dynamics, enabling an additive approximation confined to structure-preserving subspaces. Building on Hodge theory and operator splitting, we derive a principled operator-level decomposition. The result is a Hybrid Eulerian-Lagrangian architecture with an algebraic-level inductive bias we call Hodge Spectral Duality (HSD). In our framework, we use discrete differential forms to capture topology-dominated components and an orthogonal auxiliary ambient space to represent complex local dynamics. Our method achieves superior accuracy and efficiency on geometric graphs with enhanced fidelity to physical invariants. Our code is available at https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality