Топологически сохраняющее обучение нейронных операторов посредством разложения Ходжа

Аннотация

В данной работе мы исследуем операторы решений уравнений физических полей на геометрических сетках с точки зрения функциональных пространств. Мы показываем, что ортогональность Ходжа принципиальным образом устраняет спектральную интерференцию, отделяя необучаемые топологические степени свободы от обучаемых геометрических динамик, что позволяет получать аддитивную аппроксимацию в подпространствах, сохраняющих структуру. Основываясь на теории Ходжа и расщеплении операторов, мы выводим принципиальное разложение на уровне операторов. Результатом является гибридная эйлерово-лагранжева архитектура с индуктивным смещением на алгебраическом уровне, которое мы называем спектральной двойственностью Ходжа (Hodge Spectral Duality, HSD). В рамках нашего подхода мы используем дискретные дифференциальные формы для захвата компонентов, доминируемых топологией, и ортогональное вспомогательное объемлющее пространство для представления сложной локальной динамики. Наш метод достигает превосходной точности и эффективности на геометрических графах с повышенной точностью воспроизведения физических инвариантов. Наш код доступен по адресу https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality

English

In this paper, we study solution operators of physical field equations on geometric meshes from a function-space perspective. We reveal that Hodge orthogonality fundamentally resolves spectral interference by isolating unlearnable topological degrees of freedom from learnable geometric dynamics, enabling an additive approximation confined to structure-preserving subspaces. Building on Hodge theory and operator splitting, we derive a principled operator-level decomposition. The result is a Hybrid Eulerian-Lagrangian architecture with an algebraic-level inductive bias we call Hodge Spectral Duality (HSD). In our framework, we use discrete differential forms to capture topology-dominated components and an orthogonal auxiliary ambient space to represent complex local dynamics. Our method achieves superior accuracy and efficiency on geometric graphs with enhanced fidelity to physical invariants. Our code is available at https://github.com/ContinuumCoder/Hodge-Spectral-Duality