スモールゲイン・ナッシュ：微分可能ゲームにおけるナッシュ均衡への認証付き収縮

Small-Gain Nash: Certified Contraction to Nash Equilibria in Differentiable Games

December 7, 2025

著者: Vedansh Sharma

cs.AI

要旨

勾配ベースのゲーム学習における古典的な収束保証は、Rosen（1965）によって示されたように、疑似勾配がユークリッド幾何において（強）単調であることを要求するが、この条件は強いプレイヤー間結合を持つ単純なゲームでさえもしばしば成立しない。本論文では、カスタムなブロック重み付き幾何におけるブロック小ゲイン条件であるSmall-Gain Nash（SGN）を提案する。SGNは、局所的な曲率とプレイヤー間のリプシッツ結合のバウンドを、収縮性の扱いやすい証明書に変換する。この条件は、ユークリッド意味では非単調であっても、これらのバウンドが成立する任意の領域において疑似勾配が強単調となるような重み付きブロック計量を構築する。連続フローはこの設計された幾何において指数収縮し、射影オイラー法およびRK4離散化は、SGNマージンと局所リプシッツ定数から導出された明示的なステップサイズのバウンドの下で収束する。我々の分析は、認証された「タイムスケール帯」を明らかにする。これは非漸近的で計量ベースの証明書であり、TTURと同様の役割を果たす。すなわち、非等質で消失するステップサイズによる漸近的なタイムスケール分離を強制するのではなく、SGNは、単一ステップサイズのダイナミクスが証明可能に収縮する相対的な計量重みの有限の帯域を特定する。本フレームワークを、ユークリッド単調性解析では収束を予測できずともSGNがその収束を首尾よく認証する二次ゲームにおいて検証し、さらに構成をマルコフゲームにおけるエントロピー正則化方策勾配のためのミラー／フィッシャー幾何に拡張する。その結果は、コンパクト領域上で曲率、結合、リプシッツパラメータを推定し、SGNマージンを最大化するためにブロック重みを最適化し、非単調ゲームに対する計量、収縮率、安全なステップサイズからなる構造的で計算可能な収束証明書を返す、オフラインの認証パイプラインである。

English

Classical convergence guarantees for gradient-based learning in games require the pseudo-gradient to be (strongly) monotone in Euclidean geometry as shown by rosen(1965), a condition that often fails even in simple games with strong cross-player couplings. We introduce Small-Gain Nash (SGN), a block small-gain condition in a custom block-weighted geometry. SGN converts local curvature and cross-player Lipschitz coupling bounds into a tractable certificate of contraction. It constructs a weighted block metric in which the pseudo-gradient becomes strongly monotone on any region where these bounds hold, even when it is non-monotone in the Euclidean sense. The continuous flow is exponentially contracting in this designed geometry, and projected Euler and RK4 discretizations converge under explicit step-size bounds derived from the SGN margin and a local Lipschitz constant. Our analysis reveals a certified ``timescale band'', a non-asymptotic, metric-based certificate that plays a TTUR-like role: rather than forcing asymptotic timescale separation via vanishing, unequal step sizes, SGN identifies a finite band of relative metric weights for which a single-step-size dynamics is provably contractive. We validate the framework on quadratic games where Euclidean monotonicity analysis fails to predict convergence, but SGN successfully certifies it, and extend the construction to mirror/Fisher geometries for entropy-regularized policy gradient in Markov games. The result is an offline certification pipeline that estimates curvature, coupling, and Lipschitz parameters on compact regions, optimizes block weights to enlarge the SGN margin, and returns a structural, computable convergence certificate consisting of a metric, contraction rate, and safe step-sizes for non-monotone games.