幾何学的安定性：表現における欠落した軸

Geometric Stability: The Missing Axis of Representations

January 14, 2026

著者: Prashant C. Raju

cs.AI

要旨

学習表現の分析には盲点がある。それは類似性に焦点を当て、埋め込みが外部参照とどれだけ整合するかを測定するが、類似性は何が表現されているかを明らかにするだけで、その構造が頑健かどうかは示さない。我々は、表現の幾何学が摂動下でどれだけ確実に維持されるかを定量化する新たな次元として「幾何学的安定性」を提唱し、それを測定するフレームワーク「Shesha」を提案する。7つの領域における2,463の設定で、安定性と類似性は経験的に無相関（ρ≈0.01）であり、機序的に異なることを示す：類似性指標は主要主成分を除去すると崩壊するが、安定性は微細な多様体構造への感度を保持する。この区別は実用的な知見をもたらす：安全性監視では、安定性は機能的な幾何学的カナリアとして働き、剛直な距離指標で誤警報を引き起こす非機能的なノイズを除去しつつ、CKAより約2倍敏感に構造的ドリフトを検出する；制御性では、教師あり安定性は線形 steerability を予測する（ρ=0.89-0.96）；モデル選択では、安定性は転移可能性から切り離され、転移最適化が負う幾何学的なコストを明らかにする。機械学習を超えて、安定性はCRISPR摂動の一貫性や神経-行動連関を予測する。システムが構造を維持する信頼性を定量化することで、幾何学的安定性は、生物学的および計算機システムにわたる表現を監査するために、類似性に対する必要不可欠な補完を提供する。

English

Analysis of learned representations has a blind spot: it focuses on similarity, measuring how closely embeddings align with external references, but similarity reveals only what is represented, not whether that structure is robust. We introduce geometric stability, a distinct dimension that quantifies how reliably representational geometry holds under perturbation, and present Shesha, a framework for measuring it. Across 2,463 configurations in seven domains, we show that stability and similarity are empirically uncorrelated (ρapprox 0.01) and mechanistically distinct: similarity metrics collapse after removing the top principal components, while stability retains sensitivity to fine-grained manifold structure. This distinction yields actionable insights: for safety monitoring, stability acts as a functional geometric canary, detecting structural drift nearly 2times more sensitively than CKA while filtering out the non-functional noise that triggers false alarms in rigid distance metrics; for controllability, supervised stability predicts linear steerability (ρ= 0.89-0.96); for model selection, stability dissociates from transferability, revealing a geometric tax that transfer optimization incurs. Beyond machine learning, stability predicts CRISPR perturbation coherence and neural-behavioral coupling. By quantifying how reliably systems maintain structure, geometric stability provides a necessary complement to similarity for auditing representations across biological and computational systems.