Le Strutture Aperiodiche Non Collassano Mai: Gerarchie di Fibonacci per la Compressione Senza Perdita

Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

March 16, 2026

Autori: Roberto Tacconelli

cs.AI

Abstract

Studiamo se una gerarchia aperiodica possa offrire un vantaggio strutturale per la compressione senza perdita rispetto alle alternative periodiche. Dimostriamo che le tassellature del quasicristallo di Fibonacci evitano il collasso a profondità finita che affligge le gerarchie periodiche: le posizioni utilizzabili per la ricerca di n-grammi rimangono diverse da zero a ogni livello, mentre le tassellature periodiche collassano dopo O(log p) livelli per un periodo p. Ciò produce un vantaggio della gerarchia aperiodica: il riutilizzo del dizionario rimane disponibile a tutte le scale invece di svanire oltre una profondità finita. La nostra analisi fornisce quattro conseguenze principali. Primo, la proprietà della Compensazione Aurea mostra che il decadimento esponenziale nel numero di posizioni è esattamente bilanciato dalla crescita esponenziale nella lunghezza della frase, quindi la copertura potenziale rimane invariante in scala con valore asintotico W𝜑/5. Secondo, usando la legge di complessità sturmiana p(n)=n+1, mostriamo che le gerarchie di Fibonacci/Sturmian massimizzano l'efficienza di copertura del codebook tra le tassellature aperiodiche binarie. Terzo, in presenza di dipendenza a lungo raggio, la gerarchia risultante raggiunge un'entalpia di codifica inferiore rispetto a gerarchie periodiche comparabili. Quarto, la ridondanza decade in modo super-esponenziale con la profondità, mentre i sistemi periodici rimangono bloccati alla profondità in cui avviene il collasso. Convalidiamo questi risultati con Quasicryth, un compressore di testo senza perdita basato su una gerarchia di Fibonacci a dieci livelli con lunghezze di frase {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In esperimenti controllati A/B con codebook identici, il vantaggio aperiodico rispetto a una baseline a Periodo-5 cresce da 36.243 B a 3 MB a 11.089.469 B a 1 GB, spiegato dall'attivazione di livelli gerarchici più profondi. Su enwik9, Quasicryth raggiunge 225.918.349 B (22,59%), con 20.735.733 B risparmiati dalla tassellatura di Fibonacci rispetto all'assenza di tassellatura.

English

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable n-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after O(log p) levels for period p. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value Wvarphi/5. Second, using the Sturmian complexity law p(n)=n+1, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from 36{,}243 B at 3 MB to 11{,}089{,}469 B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves 225{,}918{,}349 B (22.59%), with 20{,}735{,}733 B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.