Scoperta Matematica Assistita dall'IA Basata su Modelli ed Efficiente nei Campioni nell'Impacchettamento di Sfere
Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing
December 4, 2025
Autori: Rasul Tutunov, Alexandre Maraval, Antoine Grosnit, Xihan Li, Jun Wang, Haitham Bou-Ammar
cs.AI
Abstract
L'impacchettamento di sfere, il diciottesimo problema di Hilbert, richiede la disposizione più densa di sfere congruenti nello spazio euclideo n-dimensionale. Sebbene rilevante per aree come la crittografia, la cristallografia e l'imaging medico, il problema rimane irrisolto: al di là di poche dimensioni speciali, non sono note né disposizioni ottimali né limiti superiori stretti. Persino un'importante svolta nella dimensione n=8, in seguito riconosciuta con una Medaglia Fields, ne sottolinea la difficoltà. Una tecnica principale per i limiti superiori, il metodo dei tre punti, riduce il problema alla risoluzione di ampi programmi semidefiniti (SDP) ad alta precisione. Poiché la valutazione di ogni SDP candidato può richiedere giorni, gli approcci standard di IA basati su grandi dati non sono fattibili. Affrontiamo questa sfida formulando la costruzione degli SDP come un processo decisionale sequenziale, il gioco SDP, in cui una policy assembla formulazioni SDP da un insieme di componenti ammissibili. Utilizzando un framework model-based ad alta efficienza campionaria che combina l'ottimizzazione bayesiana con la ricerca ad albero Monte Carlo, otteniamo nuovi limiti superiori allo stato dell'arte nelle dimensioni 4-16, dimostrando che la ricerca model-based può far avanzare il progresso computazionale in problemi geometrici di lunga data. Insieme, questi risultati dimostrano che una ricerca model-based ed efficiente dal punto di vista campionario può compiere progressi tangibili su problemi matematicamente rigidi e con valutazione limitata, indicando una direzione complementare per la scoperta assistita dall'IA al di là dell'esplorazione su larga scala guidata dai LLM.
English
Sphere packing, Hilbert's eighteenth problem, asks for the densest arrangement of congruent spheres in n-dimensional Euclidean space. Although relevant to areas such as cryptography, crystallography, and medical imaging, the problem remains unresolved: beyond a few special dimensions, neither optimal packings nor tight upper bounds are known. Even a major breakthrough in dimension n=8, later recognised with a Fields Medal, underscores its difficulty. A leading technique for upper bounds, the three-point method, reduces the problem to solving large, high-precision semidefinite programs (SDPs). Because each candidate SDP may take days to evaluate, standard data-intensive AI approaches are infeasible. We address this challenge by formulating SDP construction as a sequential decision process, the SDP game, in which a policy assembles SDP formulations from a set of admissible components. Using a sample-efficient model-based framework that combines Bayesian optimisation with Monte Carlo Tree Search, we obtain new state-of-the-art upper bounds in dimensions 4-16, showing that model-based search can advance computational progress in longstanding geometric problems. Together, these results demonstrate that sample-efficient, model-based search can make tangible progress on mathematically rigid, evaluation limited problems, pointing towards a complementary direction for AI-assisted discovery beyond large-scale LLM-driven exploration.