Scoperta di Strutture Matematiche Estremali Basata sul Flusso

Flow-based Extremal Mathematical Structure Discovery

January 25, 2026

Autori: Gergely Bérczi, Baran Hashemi, Jonas Klüver

cs.AI

Abstract

La scoperta di strutture estremali in matematica richiede l'esplorazione di paesaggi vasti e non convessi, dove i metodi analitici offrono poca guida e la ricerca a forza bruta diventa intrattabile. Introduciamo FlowBoost, un framework generativo a ciclo chiuso che impara a scoprire strutture geometriche rare ed estremali combinando tre componenti: (i) un modello condizionale di flow-matching geometricamente consapevole che impara a campionare configurazioni di alta qualità, (ii) un'ottimizzazione della policy guidata dalla ricompensa con esplorazione delle azioni che ottimizza direttamente il processo di generazione verso l'obiettivo mantenendo al contempo la diversità, e (iii) una ricerca locale stocastica sia per la generazione dei dati di addestramento che per la rifinitura finale. A differenza degli approcci a ciclo aperto precedenti, come PatternBoost che riaddestra su campioni discreti filtrati, o AlphaEvolve che si affida a Modelli Linguistici di Grande Dimensione (LLM) congelati come operatori di mutazione evolutiva, FlowBoost impone la fattibilità geometrica durante il campionamento e propaga il segnale di ricompensa direttamente nel modello generativo, chiudendo il ciclo di ottimizzazione e richiedendo set di addestramento molto più piccoli e tempi di training più brevi, riducendo le iterazioni del ciclo esterno di ordini di grandezza, eliminando al contempo la dipendenza dagli LLM. Dimostriamo il framework su quattro problemi di ottimizzazione geometrica: impacchettamento di sfere in ipercubi, impacchettamento di cerchi che massimizza la somma dei raggi, il problema del triangolo di Heilbronn e la minimizzazione della discrepanza stellare. In diversi casi, FlowBoost scopre configurazioni che eguagliano o superano i migliori risultati conosciuti. Per gli impacchettamenti di cerchi, miglioriamo i migliori limiti inferiori conosciuti, superando il sistema basato su LLM AlphaEvolve utilizzando sostanzialmente meno risorse computazionali.

English

The discovery of extremal structures in mathematics requires navigating vast and nonconvex landscapes where analytical methods offer little guidance and brute-force search becomes intractable. We introduce FlowBoost, a closed-loop generative framework that learns to discover rare and extremal geometric structures by combining three components: (i) a geometry-aware conditional flow-matching model that learns to sample high-quality configurations, (ii) reward-guided policy optimization with action exploration that directly optimizes the generation process toward the objective while maintaining diversity, and (iii) stochastic local search for both training-data generation and final refinement. Unlike prior open-loop approaches, such as PatternBoost that retrains on filtered discrete samples, or AlphaEvolve which relies on frozen Large Language Models (LLMs) as evolutionary mutation operators, FlowBoost enforces geometric feasibility during sampling, and propagates reward signal directly into the generative model, closing the optimization loop and requiring much smaller training sets and shorter training times, and reducing the required outer-loop iterations by orders of magnitude, while eliminating dependence on LLMs. We demonstrate the framework on four geometric optimization problems: sphere packing in hypercubes, circle packing maximizing sum of radii, the Heilbronn triangle problem, and star discrepancy minimization. In several cases, FlowBoost discovers configurations that match or exceed the best known results. For circle packings, we improve the best known lower bounds, surpassing the LLM-based system AlphaEvolve while using substantially fewer computational resources.