Un Esempio Mostrato, Molti Concetti Compresi! Ragionamento Concettuale Guidato da Controesempi nei Modelli Linguistici Matematici

One Example Shown, Many Concepts Known! Counterexample-Driven Conceptual Reasoning in Mathematical LLMs

February 12, 2025

Autori: Yinghui Li, Jiayi Kuang, Haojing Huang, Zhikun Xu, Xinnian Liang, Yi Yu, Wenlian Lu, Yangning Li, Xiaoyu Tan, Chao Qu, Ying Shen, Hai-Tao Zheng, Philip S. Yu

cs.AI

Abstract

L'utilizzo di Large Language Models (LLM) matematici per la generazione di dimostrazioni è un argomento fondamentale nella ricerca sui LLM. Sosteniamo che la capacità degli attuali LLM di dimostrare affermazioni dipenda in larga misura dal fatto che abbiano incontrato il processo di dimostrazione rilevante durante l'addestramento. Questa dipendenza limita la loro comprensione più profonda dei teoremi matematici e dei concetti correlati. Ispirati dal metodo pedagogico della "dimostrazione mediante controesempi" comunemente utilizzato nell'educazione matematica umana, il nostro lavoro mira a migliorare la capacità dei LLM di condurre ragionamenti e dimostrazioni matematiche attraverso controesempi. Nello specifico, creiamo manualmente un benchmark matematico di alta qualità a livello universitario, CounterMATH, che richiede ai LLM di dimostrare affermazioni matematiche fornendo controesempi, valutando così la loro comprensione dei concetti matematici. Inoltre, sviluppiamo un framework di ingegneria dei dati per ottenere automaticamente dati di addestramento per ulteriori miglioramenti del modello. Esperimenti estesi e analisi dettagliate dimostrano che CounterMATH è impegnativo, indicando che i LLM, come OpenAI o1, hanno capacità insufficienti di dimostrazione basata su controesempi. Inoltre, la nostra esplorazione sull'addestramento del modello rivela che rafforzare le capacità di ragionamento concettuale basato su controesempi dei LLM è cruciale per migliorare le loro capacità matematiche complessive. Crediamo che il nostro lavoro offra nuove prospettive alla comunità dei LLM matematici.

English

Leveraging mathematical Large Language Models (LLMs) for proof generation is a fundamental topic in LLMs research. We argue that the ability of current LLMs to prove statements largely depends on whether they have encountered the relevant proof process during training. This reliance limits their deeper understanding of mathematical theorems and related concepts. Inspired by the pedagogical method of "proof by counterexamples" commonly used in human mathematics education, our work aims to enhance LLMs' ability to conduct mathematical reasoning and proof through counterexamples. Specifically, we manually create a high-quality, university-level mathematical benchmark, CounterMATH, which requires LLMs to prove mathematical statements by providing counterexamples, thereby assessing their grasp of mathematical concepts. Additionally, we develop a data engineering framework to automatically obtain training data for further model improvement. Extensive experiments and detailed analyses demonstrate that CounterMATH is challenging, indicating that LLMs, such as OpenAI o1, have insufficient counterexample-driven proof capabilities. Moreover, our exploration into model training reveals that strengthening LLMs' counterexample-driven conceptual reasoning abilities is crucial for improving their overall mathematical capabilities. We believe that our work offers new perspectives on the community of mathematical LLMs.