Modelgebaseerde en sample-efficiënte, door AI ondersteunde wiskundige ontdekking in sferenstapeling

Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing

December 4, 2025

Auteurs: Rasul Tutunov, Alexandre Maraval, Antoine Grosnit, Xihan Li, Jun Wang, Haitham Bou-Ammar

cs.AI

Samenvatting

Bollenpakking, het achttiende probleem van Hilbert, vraagt om de dichtste schikking van congruente bollen in de n-dimensionale Euclidische ruimte. Hoewel het relevant is voor gebieden zoals cryptografie, kristallografie en medische beeldvorming, blijft het probleem onopgelost: behalve in een paar speciale dimensies zijn noch optimale pakkingen, noch strakke bovengrenzen bekend. Zelfs een grote doorbraak in dimensie n=8, later bekroond met een Fields Medal, onderstreept de moeilijkheidsgraad. Een toonaangevende techniek voor bovengrenzen, de driepuntsmethode, reduceert het probleem tot het oplossen van grote, hoogprecisie semidefiniete programma's (SDP's). Omdat het evalueren van elk kandidaat-SDP dagen kan duren, zijn standaard data-intensieve AI-benaderingen onuitvoerbaar. Wij pakken deze uitdaging aan door SDP-constructie te formuleren als een sequentieel beslissingsproces, het SDP-spel, waarin een beleid SDP-formuleringen assembleert uit een set toelaatbare componenten. Met behulp van een sample-efficiënt modelgebaseerd raamwerk dat Bayesiaanse optimalisatie combineert met Monte Carlo Tree Search, verkrijgen we nieuwe state-of-the-art bovengrenzen in dimensies 4-16, wat aantoont dat modelgebaseerd zoeken computationele vooruitgang kan bevorderen bij lang bestaande geometrische problemen. Samen tonen deze resultaten aan dat sample-efficiënt, modelgebaseerd zoeken tastbare vooruitgang kan boeken op wiskundig rigide, evaluatielimiterende problemen, en wijzen ze op een complementaire richting voor AI-ondersteunde ontdekking, voorbij grootschalige, door LLM's aangedreven verkenning.

English

Sphere packing, Hilbert's eighteenth problem, asks for the densest arrangement of congruent spheres in n-dimensional Euclidean space. Although relevant to areas such as cryptography, crystallography, and medical imaging, the problem remains unresolved: beyond a few special dimensions, neither optimal packings nor tight upper bounds are known. Even a major breakthrough in dimension n=8, later recognised with a Fields Medal, underscores its difficulty. A leading technique for upper bounds, the three-point method, reduces the problem to solving large, high-precision semidefinite programs (SDPs). Because each candidate SDP may take days to evaluate, standard data-intensive AI approaches are infeasible. We address this challenge by formulating SDP construction as a sequential decision process, the SDP game, in which a policy assembles SDP formulations from a set of admissible components. Using a sample-efficient model-based framework that combines Bayesian optimisation with Monte Carlo Tree Search, we obtain new state-of-the-art upper bounds in dimensions 4-16, showing that model-based search can advance computational progress in longstanding geometric problems. Together, these results demonstrate that sample-efficient, model-based search can make tangible progress on mathematically rigid, evaluation limited problems, pointing towards a complementary direction for AI-assisted discovery beyond large-scale LLM-driven exploration.