Eén Voorbeeld Getoond, Veel Concepten Bekend! Tegenvoorbeeldgestuurde Conceptuele Redenering in Wiskundige LLM's

One Example Shown, Many Concepts Known! Counterexample-Driven Conceptual Reasoning in Mathematical LLMs

February 12, 2025

Auteurs: Yinghui Li, Jiayi Kuang, Haojing Huang, Zhikun Xu, Xinnian Liang, Yi Yu, Wenlian Lu, Yangning Li, Xiaoyu Tan, Chao Qu, Ying Shen, Hai-Tao Zheng, Philip S. Yu

cs.AI

Samenvatting

Het benutten van wiskundige Grote Taalmodellen (LLM's) voor bewijsvoering is een fundamenteel onderwerp in LLM's onderzoek. We betogen dat het vermogen van huidige LLM's om uitspraken te bewijzen grotendeels afhankelijk is van of ze het relevante bewijsproces tijdens de training hebben meegemaakt. Deze afhankelijkheid beperkt hun diepere begrip van wiskundige stellingen en gerelateerde concepten. Geïnspireerd door de pedagogische methode van "bewijs door tegenvoorbeelden" die vaak wordt gebruikt in menselijke wiskunde-onderwijs, heeft ons werk tot doel de capaciteit van LLM's om wiskundige redeneringen en bewijzen uit te voeren te verbeteren door middel van tegenvoorbeelden. Specifiek creëren we handmatig een hoogwaardige, universitair niveau wiskundige benchmark, CounterMATH, die LLM's vereist om wiskundige uitspraken te bewijzen door tegenvoorbeelden te geven, en zo hun begrip van wiskundige concepten te beoordelen. Daarnaast ontwikkelen we een data-engineering framework om automatisch trainingsdata te verkrijgen voor verdere modelverbetering. Uitgebreide experimenten en gedetailleerde analyses tonen aan dat CounterMATH uitdagend is, wat aangeeft dat LLM's, zoals OpenAI o1, onvoldoende capaciteiten hebben voor bewijsvoering op basis van tegenvoorbeelden. Bovendien onthult ons onderzoek naar modeltraining dat het versterken van de op tegenvoorbeelden gebaseerde conceptuele redeneervaardigheden van LLM's cruciaal is voor het verbeteren van hun algehele wiskundige capaciteiten. Wij geloven dat ons werk nieuwe perspectieven biedt binnen de gemeenschap van wiskundige LLM's.

English

Leveraging mathematical Large Language Models (LLMs) for proof generation is a fundamental topic in LLMs research. We argue that the ability of current LLMs to prove statements largely depends on whether they have encountered the relevant proof process during training. This reliance limits their deeper understanding of mathematical theorems and related concepts. Inspired by the pedagogical method of "proof by counterexamples" commonly used in human mathematics education, our work aims to enhance LLMs' ability to conduct mathematical reasoning and proof through counterexamples. Specifically, we manually create a high-quality, university-level mathematical benchmark, CounterMATH, which requires LLMs to prove mathematical statements by providing counterexamples, thereby assessing their grasp of mathematical concepts. Additionally, we develop a data engineering framework to automatically obtain training data for further model improvement. Extensive experiments and detailed analyses demonstrate that CounterMATH is challenging, indicating that LLMs, such as OpenAI o1, have insufficient counterexample-driven proof capabilities. Moreover, our exploration into model training reveals that strengthening LLMs' counterexample-driven conceptual reasoning abilities is crucial for improving their overall mathematical capabilities. We believe that our work offers new perspectives on the community of mathematical LLMs.