Estruturas Aperiódicas Nunca Colapsam: Hierarquias de Fibonacci para Compressão sem Perdas

Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

March 16, 2026

Autores: Roberto Tacconelli

cs.AI

Resumo

Estudamos se uma hierarquia aperiódica pode oferecer uma vantagem estrutural para compressão sem perdas em relação a alternativas periódicas. Mostramos que os ladrilhamentos quasicristais de Fibonacci evitam o colapso de profundidade finita que afeta as hierarquias periódicas: as posições utilizáveis para pesquisa de n-gramas permanecem diferentes de zero em todos os níveis, enquanto os ladrilhamentos periódicos colapsam após O(log p) níveis para um período p. Isso resulta numa vantagem da hierarquia aperiódica: a reutilização do dicionário permanece disponível em todas as escalas, em vez de desaparecer além de uma profundidade finita. Nossa análise apresenta quatro consequências principais. Primeiro, a propriedade da Compensação Áurea mostra que o decaimento exponencial no número de posições é exatamente equilibrado pelo crescimento exponencial no comprimento das frases, de modo que a cobertura potencial permanece invariante em escala com valor assintótico Wvarphi/5. Segundo, usando a lei de complexidade esturmiana p(n)=n+1, mostramos que as hierarquias de Fibonacci/Esturmianas maximizam a eficiência de cobertura do codebook entre os ladrilhamentos aperiódicos binários. Terceiro, sob dependência de longo alcance, a hierarquia resultante alcança uma entropia de codificação menor do que hierarquias periódicas comparáveis. Quarto, a redundância decai superexponencialmente com a profundidade, enquanto os sistemas periódicos permanecem travados na profundidade onde o colapso ocorre. Validamos esses resultados com o Quasicryth, um compressor de texto sem perdas construído sobre uma hierarquia de Fibonacci de dez níveis com comprimentos de frase {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. Em experimentos A/B controlados com codebooks idênticos, a vantagem aperiódica sobre uma linha de base de Período-5 cresce de 36.243 B em 3 MB para 11.089.469 B em 1 GB, explicada pela ativação de níveis mais profundos da hierarquia. No enwik9, o Quasicryth alcança 225.918.349 B (22,59%), com 20.735.733 B economizados pelo ladrilhamento de Fibonacci em relação à ausência de ladrilhamento.

English

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable n-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after O(log p) levels for period p. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value Wvarphi/5. Second, using the Sturmian complexity law p(n)=n+1, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from 36{,}243 B at 3 MB to 11{,}089{,}469 B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves 225{,}918{,}349 B (22.59%), with 20{,}735{,}733 B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.