Aprendendo as Estruturas Próprias de Variedades de Dados Não Estruturados
Learning Eigenstructures of Unstructured Data Manifolds
November 30, 2025
Autores: Roy Velich, Arkadi Piven, David Bensaïd, Daniel Cremers, Thomas Dagès, Ron Kimmel
cs.AI
Resumo
Apresentamos uma estruturas inovadora que aprende diretamente uma base espectral para análise de formas e variedades a partir de dados não estruturados, eliminando a necessidade de seleção tradicional de operadores, discretização e solucionadores de autovalores. Fundamentada na teoria de aproximação ótima, treinamos uma rede para decompor um operador de aproximação implícita minimizando o erro de reconstrução na base aprendida sobre uma distribuição escolhida de funções de teste. Para distribuições adequadas, estas podem ser vistas como uma aproximação do operador Laplaciano e sua autodecomposição, que são fundamentais no processamento geométrico. Além disso, nosso método recupera de maneira unificada não apenas a base espectral, mas também a densidade de amostragem da métrica implícita e os autovalores do operador subjacente. Notavelmente, nosso método não supervisionado não faz suposições sobre a variedade de dados, como malhas ou dimensionalidade da variedade, permitindo sua escalabilidade para conjuntos de dados arbitrários de qualquer dimensão. Em nuvens de pontos situadas em superfícies 3D e variedades de imagens de alta dimensão, nossa abordagem produz bases espectrais significativas, que podem assemelhar-se às do Laplaciano, sem a construção explícita de um operador. Ao substituir a seleção, construção e autodecomposição tradicionais de operadores por uma abordagem baseada em aprendizado, nossa estrutura oferece uma alternativa fundamentada e orientada por dados aos fluxos convencionais. Isso abre novas possibilidades no processamento geométrico para dados não estruturados, particularmente em espaços de alta dimensão.
English
We introduce a novel framework that directly learns a spectral basis for shape and manifold analysis from unstructured data, eliminating the need for traditional operator selection, discretization, and eigensolvers. Grounded in optimal-approximation theory, we train a network to decompose an implicit approximation operator by minimizing the reconstruction error in the learned basis over a chosen distribution of probe functions. For suitable distributions, they can be seen as an approximation of the Laplacian operator and its eigendecomposition, which are fundamental in geometry processing. Furthermore, our method recovers in a unified manner not only the spectral basis, but also the implicit metric's sampling density and the eigenvalues of the underlying operator. Notably, our unsupervised method makes no assumption on the data manifold, such as meshing or manifold dimensionality, allowing it to scale to arbitrary datasets of any dimension. On point clouds lying on surfaces in 3D and high-dimensional image manifolds, our approach yields meaningful spectral bases, that can resemble those of the Laplacian, without explicit construction of an operator. By replacing the traditional operator selection, construction, and eigendecomposition with a learning-based approach, our framework offers a principled, data-driven alternative to conventional pipelines. This opens new possibilities in geometry processing for unstructured data, particularly in high-dimensional spaces.