Descoberta Matemática Assistida por IA Baseada em Modelo e Eficiente em Amostras no Empacotamento de Esferas

Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing

December 4, 2025

Autores: Rasul Tutunov, Alexandre Maraval, Antoine Grosnit, Xihan Li, Jun Wang, Haitham Bou-Ammar

cs.AI

Resumo

O problema do empacotamento de esferas, décimo oitavo problema de Hilbert, questiona sobre o arranjo mais denso de esferas congruentes no espaço euclidiano n-dimensional. Embora seja relevante para áreas como criptografia, cristalografia e imageamento médico, o problema permanece sem solução: para além de algumas dimensões especiais, nem empacotamentos ótimos nem limites superiores rigorosos são conhecidos. Até mesmo um grande avanço na dimensão n=8, posteriormente reconhecido com uma Medalha Fields, sublinha a sua dificuldade. Uma técnica líder para limites superiores, o método dos três pontos, reduz o problema à resolução de programas semidefinidos (SDPs) grandes e de alta precisão. Como cada SDP candidato pode levar dias para ser avaliado, as abordagens padrão de IA baseadas em dados intensivos são inviáveis. Nós enfrentamos este desafio formulando a construção de SDPs como um processo de decisão sequencial, o jogo SDP, no qual uma política monta formulações de SDP a partir de um conjunto de componentes admissíveis. Utilizando um framework modelo-eficiente baseado em amostragem que combina a otimização bayesiana com a Pesquisa em Árvore de Monte Carlo, obtivemos novos limites superiores state-of-the-art nas dimensões 4 a 16, mostrando que a busca baseada em modelo pode avançar o progresso computacional em problemas geométricos de longa data. Em conjunto, estes resultados demonstram que a busca modelo-eficiente baseada em amostragem pode produzir progresso tangível em problemas matematicamente rígidos e com avaliação limitada, apontando para uma direção complementar para a descoberta assistida por IA para além da exploração em larga escala impulsionada por LLMs.

English

Sphere packing, Hilbert's eighteenth problem, asks for the densest arrangement of congruent spheres in n-dimensional Euclidean space. Although relevant to areas such as cryptography, crystallography, and medical imaging, the problem remains unresolved: beyond a few special dimensions, neither optimal packings nor tight upper bounds are known. Even a major breakthrough in dimension n=8, later recognised with a Fields Medal, underscores its difficulty. A leading technique for upper bounds, the three-point method, reduces the problem to solving large, high-precision semidefinite programs (SDPs). Because each candidate SDP may take days to evaluate, standard data-intensive AI approaches are infeasible. We address this challenge by formulating SDP construction as a sequential decision process, the SDP game, in which a policy assembles SDP formulations from a set of admissible components. Using a sample-efficient model-based framework that combines Bayesian optimisation with Monte Carlo Tree Search, we obtain new state-of-the-art upper bounds in dimensions 4-16, showing that model-based search can advance computational progress in longstanding geometric problems. Together, these results demonstrate that sample-efficient, model-based search can make tangible progress on mathematically rigid, evaluation limited problems, pointing towards a complementary direction for AI-assisted discovery beyond large-scale LLM-driven exploration.