非構造化データ多様体の固有構造の学習
Learning Eigenstructures of Unstructured Data Manifolds
November 30, 2025
著者: Roy Velich, Arkadi Piven, David Bensaïd, Daniel Cremers, Thomas Dagès, Ron Kimmel
cs.AI
要旨
我々は、従来の演算子選択・離散化・固有値解法を必要とせず、非構造化データから形状及び多様体解析のためのスペクトル基底を直接学習する新規フレームワークを提案する。最適近似理論に基づき、プローブ関数の選定された分布において学習された基底における再構成誤差を最小化することにより、陰的近似演算子を分解するネットワークを訓練する。適切な分布において、本手法は幾何学処理の基礎であるラプラシアン演算子とその固有分解の近似と見なすことができる。さらに、本手法はスペクトル基底のみならず、陰的計量のサンプリング密度及び基礎演算子の固有値を統一的に回復する。特筆すべきは、本教師なし手法はメッシュ化や多様体次元といったデータ多様体に関する仮定を設けず、任意の次元のデータセットに拡張可能である点である。3次元表面上の点群及び高次元画像多様体において、本手法は演算子の明示的構築なしに、ラプラシアンのそれに類似した有意義なスペクトル基底を生成する。従来の演算子選択・構築・固有分解を学習ベースアプローチに置き換えることで、本フレームワークは従来の処理パイプラインに対する原理的かつデータ駆動型の代替手段を提供する。これは特に高次元空間における非構造化データの幾何学処理に新たな可能性を開くものである。
English
We introduce a novel framework that directly learns a spectral basis for shape and manifold analysis from unstructured data, eliminating the need for traditional operator selection, discretization, and eigensolvers. Grounded in optimal-approximation theory, we train a network to decompose an implicit approximation operator by minimizing the reconstruction error in the learned basis over a chosen distribution of probe functions. For suitable distributions, they can be seen as an approximation of the Laplacian operator and its eigendecomposition, which are fundamental in geometry processing. Furthermore, our method recovers in a unified manner not only the spectral basis, but also the implicit metric's sampling density and the eigenvalues of the underlying operator. Notably, our unsupervised method makes no assumption on the data manifold, such as meshing or manifold dimensionality, allowing it to scale to arbitrary datasets of any dimension. On point clouds lying on surfaces in 3D and high-dimensional image manifolds, our approach yields meaningful spectral bases, that can resemble those of the Laplacian, without explicit construction of an operator. By replacing the traditional operator selection, construction, and eigendecomposition with a learning-based approach, our framework offers a principled, data-driven alternative to conventional pipelines. This opens new possibilities in geometry processing for unstructured data, particularly in high-dimensional spaces.