Aprendizaje de las Estructuras Propias de Variedades de Datos No Estructurados
Learning Eigenstructures of Unstructured Data Manifolds
November 30, 2025
Autores: Roy Velich, Arkadi Piven, David Bensaïd, Daniel Cremers, Thomas Dagès, Ron Kimmel
cs.AI
Resumen
Introducimos un marco novedoso que aprende directamente una base espectral para el análisis de formas y variedades a partir de datos no estructurados, eliminando la necesidad de la selección tradicional de operadores, la discretización y los solucionadores de autovalores. Fundamentado en la teoría de aproximación óptima, entrenamos una red para descomponer un operador de aproximación implícita minimizando el error de reconstrucción en la base aprendida sobre una distribución elegida de funciones de prueba. Para distribuciones adecuadas, estas pueden verse como una aproximación del operador Laplaciano y su descomposición en autovalores, fundamentales en el procesamiento geométrico. Además, nuestro método recupera de manera unificada no solo la base espectral, sino también la densidad de muestreo de la métrica implícita y los autovalores del operador subyacente. Notablemente, nuestro método no supervisado no realiza suposiciones sobre la variedad de datos, como la mallado o la dimensionalidad de la variedad, lo que le permite escalar a conjuntos de datos arbitrarios de cualquier dimensión. En nubes de puntos situadas sobre superficies en 3D y variedades de imágenes de alta dimensión, nuestro enfoque produce bases espectrales significativas, que pueden asemejarse a las del Laplaciano, sin la construcción explícita de un operador. Al reemplazar la selección, construcción y descomposición en autovalores tradicionales de operadores con un enfoque basado en aprendizaje, nuestro marco ofrece una alternativa fundamentada y guiada por datos a los flujos de trabajo convencionales. Esto abre nuevas posibilidades en el procesamiento geométrico para datos no estructurados, particularmente en espacios de alta dimensión.
English
We introduce a novel framework that directly learns a spectral basis for shape and manifold analysis from unstructured data, eliminating the need for traditional operator selection, discretization, and eigensolvers. Grounded in optimal-approximation theory, we train a network to decompose an implicit approximation operator by minimizing the reconstruction error in the learned basis over a chosen distribution of probe functions. For suitable distributions, they can be seen as an approximation of the Laplacian operator and its eigendecomposition, which are fundamental in geometry processing. Furthermore, our method recovers in a unified manner not only the spectral basis, but also the implicit metric's sampling density and the eigenvalues of the underlying operator. Notably, our unsupervised method makes no assumption on the data manifold, such as meshing or manifold dimensionality, allowing it to scale to arbitrary datasets of any dimension. On point clouds lying on surfaces in 3D and high-dimensional image manifolds, our approach yields meaningful spectral bases, that can resemble those of the Laplacian, without explicit construction of an operator. By replacing the traditional operator selection, construction, and eigendecomposition with a learning-based approach, our framework offers a principled, data-driven alternative to conventional pipelines. This opens new possibilities in geometry processing for unstructured data, particularly in high-dimensional spaces.