비정형 데이터 매니폴드의 고유 구조 학습

Learning Eigenstructures of Unstructured Data Manifolds

November 30, 2025

저자: Roy Velich, Arkadi Piven, David Bensaïd, Daniel Cremers, Thomas Dagès, Ron Kimmel

cs.AI

초록

기존의 연산자 선택, 이산화, 고유솔버가 필요 없는 새로운 프레임워크를 제안합니다. 이 프레임워크는 비정형 데이터로부터 형상 및 다양체 분석을 위한 스펙트럼 기저를 직접 학습합니다. 최적 근사 이론에 기반하여, 우리는 선택된 프로브 함수 분포 상에서 학습된 기저의 재구성 오차를 최소화함으로써 암묵적 근사 연산자를 분해하도록 네트워크를 학습시킵니다. 적절한 분포 하에서 이는 기하 처리에서 핵심적인 라플라시안 연산자와 그 고유분해의 근사로 볼 수 있습니다. 더 나아가 우리의 방법은 스펙트럼 기저뿐만 아니라 암묵적 계량의 샘플링 밀도와 기저 연산자의 고유값을 통합적으로 복원합니다. 특히, 우리의 비지도 학습 방법은 메싱이나 다양체 차원성과 같은 데이터 다양체에 대한 가정을 하지 않아 임의의 차원을 가진 데이터셋으로 확장 가능합니다. 3차원 표면 및 고차원 이미지 다양체 상의 점군에 대해 우리의 접근법은 명시적인 연산자 구축 없이도 라플라시안의 스펙트럼 기저와 유의미하게 유사한 의미 있는 기저를 생성합니다. 기존의 연산자 선택, 구축, 고유분해 파이프라인을 학습 기반 접근법으로 대체함으로써, 우리의 프레임워크는 원칙적인 데이터 주도형 대안을 제공합니다. 이는 특히 고차원 공간에서 비정형 데이터에 대한 기하 처리에 새로운 가능성을 열어줍니다.

English

We introduce a novel framework that directly learns a spectral basis for shape and manifold analysis from unstructured data, eliminating the need for traditional operator selection, discretization, and eigensolvers. Grounded in optimal-approximation theory, we train a network to decompose an implicit approximation operator by minimizing the reconstruction error in the learned basis over a chosen distribution of probe functions. For suitable distributions, they can be seen as an approximation of the Laplacian operator and its eigendecomposition, which are fundamental in geometry processing. Furthermore, our method recovers in a unified manner not only the spectral basis, but also the implicit metric's sampling density and the eigenvalues of the underlying operator. Notably, our unsupervised method makes no assumption on the data manifold, such as meshing or manifold dimensionality, allowing it to scale to arbitrary datasets of any dimension. On point clouds lying on surfaces in 3D and high-dimensional image manifolds, our approach yields meaningful spectral bases, that can resemble those of the Laplacian, without explicit construction of an operator. By replacing the traditional operator selection, construction, and eigendecomposition with a learning-based approach, our framework offers a principled, data-driven alternative to conventional pipelines. This opens new possibilities in geometry processing for unstructured data, particularly in high-dimensional spaces.