視覚拡散モデルは幾何学的解法である

Visual Diffusion Models are Geometric Solvers

October 24, 2025

著者: Nir Goren, Shai Yehezkel, Omer Dahary, Andrey Voynov, Or Patashnik, Daniel Cohen-Or

cs.AI

要旨

本論文では、視覚的拡散モデルが効果的な幾何学的ソルバーとして機能し、ピクセル空間を操作することで幾何学的問題を直接推論できることを示す。まず、幾何学における長年の未解決問題である「任意のジョルダン曲線が正方形を形成する4点を含むか」を問う内接正方形問題においてこれを実証する。次に、このアプローチをシュタイナー木問題と単純多角形問題という二つの有名な難問に拡張する。 我々の手法は、各問題インスタンスを画像として扱い、ガウスノイズを正確な解に極めて近い有効な近似解を表す画像に変換する標準的な視覚的拡散モデルを学習させる。モデルは、ノイズの多い幾何学的構造を正しい配置に変換することを学習し、幾何学的推論を画像生成として効果的に再定義する。 従来の研究がパラメトリックな幾何学的表現に拡散モデルを適用する際に専用アーキテクチャや領域特化の適応を必要としていたのに対し、我々は問題の視覚的表現に対して動作する標準的な視覚的拡散モデルを採用する。この単純さは、生成モデリングと幾何学的問題解決との間にある驚くべき架け橋を浮き彫りにする。ここで検討した特定の問題を超えて、我々の結果はより広範なパラダイスを示唆する：画像空間での操作は、悪名高い難問を近似するための汎用的かつ実用的な枠組みを提供し、はるかに広いクラスの挑戦的幾何学タスクに取り組む道を開く。

English

In this paper we show that visual diffusion models can serve as effective geometric solvers: they can directly reason about geometric problems by working in pixel space. We first demonstrate this on the Inscribed Square Problem, a long-standing problem in geometry that asks whether every Jordan curve contains four points forming a square. We then extend the approach to two other well-known hard geometric problems: the Steiner Tree Problem and the Simple Polygon Problem. Our method treats each problem instance as an image and trains a standard visual diffusion model that transforms Gaussian noise into an image representing a valid approximate solution that closely matches the exact one. The model learns to transform noisy geometric structures into correct configurations, effectively recasting geometric reasoning as image generation. Unlike prior work that necessitates specialized architectures and domain-specific adaptations when applying diffusion to parametric geometric representations, we employ a standard visual diffusion model that operates on the visual representation of the problem. This simplicity highlights a surprising bridge between generative modeling and geometric problem solving. Beyond the specific problems studied here, our results point toward a broader paradigm: operating in image space provides a general and practical framework for approximating notoriously hard problems, and opens the door to tackling a far wider class of challenging geometric tasks.