フローベース極値数学構造発見

要旨

数学における極値構造の発見は、広大で非凸的な探索空間を扱う必要があり、解析的手法はほとんど指針を与えず、力任せの探索は実行不可能となる。本論文では、FlowBoostを提案する。これは、以下の3つの構成要素を組み合わせることで、稀で極値的な幾何学的構造を発見することを学習する、閉ループ生成フレームワークである：(i) 高品質な配置をサンプリングすることを学習する、幾何学的考慮を組み込んだ条件付きフローマッチングモデル、(ii) 多様性を維持しつつ生成プロセスを目的に向けて直接最適化する、報酬誘導型方策最適化と行動探索、(iii) 学習データ生成と最終的な精密化の両方に用いる確率的局所探索。フィルタリングされた離散サンプルで再学習するPatternBoostや、進化的突然変異演算子として凍結された大規模言語モデル(LLM)に依存するAlphaEvolveなどの従来の開ループアプローチとは異なり、FlowBoostはサンプリング中に幾何学的実現可能性を強制し、報酬信号を生成モデルに直接伝播させる。これにより最適化ループが閉じられ、はるかに小規模な訓練セットと短い訓練時間で済み、必要な外側ループの反復回数を数桁削減するとともに、LLMへの依存を排除する。本フレームワークを4つの幾何学的最適化問題（超立方体内の球充填、半径の和を最大化する円充填、ハイルブロンの三角形問題、スター・ディスクレパンシー最小化）で実証する。いくつかのケースでは、FlowBoostは既知の最良結果に匹敵する、またはそれを超える配置を発見する。円充填問題では、既知の最良下限値を改善し、LLMベースのシステムAlphaEvolveを凌駕するとともに、大幅に少ない計算資源で達成する。

English

The discovery of extremal structures in mathematics requires navigating vast and nonconvex landscapes where analytical methods offer little guidance and brute-force search becomes intractable. We introduce FlowBoost, a closed-loop generative framework that learns to discover rare and extremal geometric structures by combining three components: (i) a geometry-aware conditional flow-matching model that learns to sample high-quality configurations, (ii) reward-guided policy optimization with action exploration that directly optimizes the generation process toward the objective while maintaining diversity, and (iii) stochastic local search for both training-data generation and final refinement. Unlike prior open-loop approaches, such as PatternBoost that retrains on filtered discrete samples, or AlphaEvolve which relies on frozen Large Language Models (LLMs) as evolutionary mutation operators, FlowBoost enforces geometric feasibility during sampling, and propagates reward signal directly into the generative model, closing the optimization loop and requiring much smaller training sets and shorter training times, and reducing the required outer-loop iterations by orders of magnitude, while eliminating dependence on LLMs. We demonstrate the framework on four geometric optimization problems: sphere packing in hypercubes, circle packing maximizing sum of radii, the Heilbronn triangle problem, and star discrepancy minimization. In several cases, FlowBoost discovers configurations that match or exceed the best known results. For circle packings, we improve the best known lower bounds, surpassing the LLM-based system AlphaEvolve while using substantially fewer computational resources.

フローベース極値数学構造発見

Flow-based Extremal Mathematical Structure Discovery

要旨

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