Découverte de structures mathématiques extrémales par approche à base de flux

Flow-based Extremal Mathematical Structure Discovery

January 25, 2026

papers.authors: Gergely Bérczi, Baran Hashemi, Jonas Klüver

cs.AI

papers.abstract

La découverte de structures extrémales en mathématiques nécessite de naviguer dans des paysages vastes et non convexes où les méthodes analytiques offrent peu de guidance et la recherche par force brute devient insoluble. Nous présentons FlowBoost, un cadre génératif en boucle fermée qui apprend à découvrir des structures géométriques rares et extrémales en combinant trois composants : (i) un modèle conditionnel d'appariement de flux (« flow-matching ») sensible à la géométrie qui apprend à échantillonner des configurations de haute qualité, (ii) une optimisation de politique guidée par récompense avec exploration d'actions qui optimise directement le processus de génération vers l'objectif tout en maintenant la diversité, et (iii) une recherche locale stochastique utilisée à la fois pour la génération des données d'apprentissage et pour l'affinage final. Contrairement aux approches en boucle ouverte antérieures, telles que PatternBoost qui ré-entraîne sur des échantillons discrets filtrés, ou AlphaEvolve qui repose sur des modèles de langage volumineux (LLM) figés comme opérateurs de mutation évolutive, FlowBoost impose la faisabilité géométrique pendant l'échantillonnage et propage le signal de récompense directement dans le modèle génératif, refermant la boucle d'optimisation. Cela nécessite des ensembles d'apprentissage beaucoup plus petits et des temps d'entraînement plus courts, réduit le nombre d'itérations de boucle externe de plusieurs ordres de grandeur, et élimine la dépendance aux LLM. Nous démontrons le cadre sur quatre problèmes d'optimisation géométrique : l'empilement de sphères dans des hypercubes, l'empilement de cercles maximisant la somme des rayons, le problème du triangle de Heilbronn et la minimisation de la discrépance étoilée. Dans plusieurs cas, FlowBoost découvre des configurations qui égalent ou surpassent les meilleurs résultats connus. Pour les empilements de cercles, nous améliorons les meilleures bornes inférieures connues, surpassant le système basé sur les LLM AlphaEvolve tout en utilisant des ressources de calcul substantiellement moindres.

English

The discovery of extremal structures in mathematics requires navigating vast and nonconvex landscapes where analytical methods offer little guidance and brute-force search becomes intractable. We introduce FlowBoost, a closed-loop generative framework that learns to discover rare and extremal geometric structures by combining three components: (i) a geometry-aware conditional flow-matching model that learns to sample high-quality configurations, (ii) reward-guided policy optimization with action exploration that directly optimizes the generation process toward the objective while maintaining diversity, and (iii) stochastic local search for both training-data generation and final refinement. Unlike prior open-loop approaches, such as PatternBoost that retrains on filtered discrete samples, or AlphaEvolve which relies on frozen Large Language Models (LLMs) as evolutionary mutation operators, FlowBoost enforces geometric feasibility during sampling, and propagates reward signal directly into the generative model, closing the optimization loop and requiring much smaller training sets and shorter training times, and reducing the required outer-loop iterations by orders of magnitude, while eliminating dependence on LLMs. We demonstrate the framework on four geometric optimization problems: sphere packing in hypercubes, circle packing maximizing sum of radii, the Heilbronn triangle problem, and star discrepancy minimization. In several cases, FlowBoost discovers configurations that match or exceed the best known results. For circle packings, we improve the best known lower bounds, surpassing the LLM-based system AlphaEvolve while using substantially fewer computational resources.