Потоковое обнаружение экстремальных математических структур

Flow-based Extremal Mathematical Structure Discovery

January 25, 2026

Авторы: Gergely Bérczi, Baran Hashemi, Jonas Klüver

cs.AI

Аннотация

Открытие экстремальных структур в математике требует навигации по обширным и невыпуклым ландшафтам, где аналитические методы дают мало информации, а поиск полным перебором становится неосуществимым. Мы представляем FlowBoost, замкнутую генеративную систему, которая обучается открывать редкие и экстремальные геометрические структуры, объединяя три компонента: (i) геометрически осведомленную условную модель согласования потоков, которая обучается семплировать высококачественные конфигурации, (ii) оптимизацию политики с направляющей наградой и исследованием действий, которая напрямую оптимизирует процесс генерации для достижения цели, сохраняя при этом разнообразие, и (iii) стохастический локальный поиск как для генерации обучающих данных, так и для финального улучшения. В отличие от предыдущих разомкнутых подходов, таких как PatternBoost, который переобучается на отфильтрованных дискретных выборках, или AlphaEvolve, который полагается на замороженные большие языковые модели (БЯМ) в качестве операторов эволюционной мутации, FlowBoost обеспечивает геометрическую осуществимость во время семплирования и напрямую передает сигнал награды в генеративную модель, замыкая цикл оптимизации. Это позволяет обходиться значительно меньшими обучающими наборами и более коротким временем обучения, сокращает количество необходимых внешних итераций на порядки величин и устраняет зависимость от БЯМ. Мы демонстрируем работу системы на четырех задачах геометрической оптимизации: упаковка сфер в гиперкубы, упаковка кругов с максимизацией суммы радиусов, задача Хейльбронна о треугольнике и минимизация звездной дисперсии. В нескольких случаях FlowBoost обнаруживает конфигурации, которые соответствуют или превосходят лучшие известные результаты. Для упаковок кругов мы улучшаем лучшие известные нижние границы, превосходя систему на основе БЯМ AlphaEvolve при существенно меньших вычислительных затратах.

English

The discovery of extremal structures in mathematics requires navigating vast and nonconvex landscapes where analytical methods offer little guidance and brute-force search becomes intractable. We introduce FlowBoost, a closed-loop generative framework that learns to discover rare and extremal geometric structures by combining three components: (i) a geometry-aware conditional flow-matching model that learns to sample high-quality configurations, (ii) reward-guided policy optimization with action exploration that directly optimizes the generation process toward the objective while maintaining diversity, and (iii) stochastic local search for both training-data generation and final refinement. Unlike prior open-loop approaches, such as PatternBoost that retrains on filtered discrete samples, or AlphaEvolve which relies on frozen Large Language Models (LLMs) as evolutionary mutation operators, FlowBoost enforces geometric feasibility during sampling, and propagates reward signal directly into the generative model, closing the optimization loop and requiring much smaller training sets and shorter training times, and reducing the required outer-loop iterations by orders of magnitude, while eliminating dependence on LLMs. We demonstrate the framework on four geometric optimization problems: sphere packing in hypercubes, circle packing maximizing sum of radii, the Heilbronn triangle problem, and star discrepancy minimization. In several cases, FlowBoost discovers configurations that match or exceed the best known results. For circle packings, we improve the best known lower bounds, surpassing the LLM-based system AlphaEvolve while using substantially fewer computational resources.