Descubrimiento de Estructuras Matemáticas Extremales Basado en Flujos

Flow-based Extremal Mathematical Structure Discovery

January 25, 2026

Autores: Gergely Bérczi, Baran Hashemi, Jonas Klüver

cs.AI

Resumen

El descubrimiento de estructuras extremales en matemáticas requiere navegar por paisajes vastos y no convexos donde los métodos analíticos ofrecen poca orientación y la búsqueda por fuerza bruta se vuelve intratable. Presentamos FlowBoost, un marco generativo de bucle cerrado que aprende a descubrir estructuras geométricas raras y extremales combinando tres componentes: (i) un modelo de *flow-matching* condicional consciente de la geometría que aprende a muestrear configuraciones de alta calidad, (ii) una optimización de políticas guiada por recompensas con exploración de acciones que optimiza directamente el proceso de generación hacia el objetivo manteniendo la diversidad, y (iii) una búsqueda local estocástica tanto para la generación de datos de entrenamiento como para el refinamiento final. A diferencia de enfoques previos de bucle abierto, como PatternBoost que se reentrena con muestras discretas filtradas, o AlphaEvolve que depende de Modelos de Lenguaje Grandes (LLMs) congelados como operadores de mutación evolutiva, FlowBoost aplica restricciones de factibilidad geométrica durante el muestreo, y propaga la señal de recompensa directamente en el modelo generativo, cerrando el ciclo de optimización y requiriendo conjuntos de entrenamiento mucho más pequeños y tiempos de entrenamiento más cortos, reduciendo las iteraciones del bucle externo en órdenes de magnitud, al tiempo que elimina la dependencia de los LLMs. Demostramos el marco en cuatro problemas de optimización geométrica: empaquetamiento de esferas en hipercubos, empaquetamiento de círculos que maximiza la suma de radios, el problema del triángulo de Heilbronn y la minimización de la discrepancia estelar. En varios casos, FlowBoost descubre configuraciones que igualan o superan los mejores resultados conocidos. Para empaquetamientos de círculos, mejoramos las mejores cotas inferiores conocidas, superando al sistema basado en LLMs AlphaEvolve mientras utilizamos sustancialmente menos recursos computacionales.

English

The discovery of extremal structures in mathematics requires navigating vast and nonconvex landscapes where analytical methods offer little guidance and brute-force search becomes intractable. We introduce FlowBoost, a closed-loop generative framework that learns to discover rare and extremal geometric structures by combining three components: (i) a geometry-aware conditional flow-matching model that learns to sample high-quality configurations, (ii) reward-guided policy optimization with action exploration that directly optimizes the generation process toward the objective while maintaining diversity, and (iii) stochastic local search for both training-data generation and final refinement. Unlike prior open-loop approaches, such as PatternBoost that retrains on filtered discrete samples, or AlphaEvolve which relies on frozen Large Language Models (LLMs) as evolutionary mutation operators, FlowBoost enforces geometric feasibility during sampling, and propagates reward signal directly into the generative model, closing the optimization loop and requiring much smaller training sets and shorter training times, and reducing the required outer-loop iterations by orders of magnitude, while eliminating dependence on LLMs. We demonstrate the framework on four geometric optimization problems: sphere packing in hypercubes, circle packing maximizing sum of radii, the Heilbronn triangle problem, and star discrepancy minimization. In several cases, FlowBoost discovers configurations that match or exceed the best known results. For circle packings, we improve the best known lower bounds, surpassing the LLM-based system AlphaEvolve while using substantially fewer computational resources.