Die Schlange in der Brownschen Kugel.

The snake in the Brownian sphere

February 18, 2025

Autoren: Omer Angel, Emmanuel Jacob, Brett Kolesnik, Grégory Miermont

cs.AI

Zusammenfassung

Die Brown'sche Kugel ist ein zufälliger metrischer Raum, homöomorph zur zweidimensionalen Kugel, der als universale Skalierungsgrenze vieler Arten von zufälligen planaren Karten entsteht. Die direkte Konstruktion der Brown'schen Kugel erfolgt über eine kontinuierliche Analogie der Cori-Vauquelin-Schaeffer (CVS) Bijektion. Die CVS-Bijektion bildet beschriftete Bäume auf planare Karten ab, und die kontinuierliche Version bildet Aldous' kontinuierlichen Zufallsbaum mit Brownschen Beschriftungen (die Brown'sche Schlange) auf die Brown'sche Kugel ab. In dieser Arbeit beschreiben wir die Umkehrung der kontinuierlichen CVS-Bijektion, indem wir die Brown'sche Schlange als messbare Funktion der Brown'schen Kugel konstruieren. Besondere Sorgfalt ist erforderlich, um mit der Orientierung der Brown'schen Kugel zu arbeiten.

English

The Brownian sphere is a random metric space, homeomorphic to the two-dimensional sphere, which arises as the universal scaling limit of many types of random planar maps. The direct construction of the Brownian sphere is via a continuous analogue of the Cori--Vauquelin--Schaeffer (CVS) bijection. The CVS bijection maps labeled trees to planar maps, and the continuous version maps Aldous' continuum random tree with Brownian labels (the Brownian snake) to the Brownian sphere. In this work, we describe the inverse of the continuous CVS bijection, by constructing the Brownian snake as a measurable function of the Brownian sphere. Special care is needed to work with the orientation of the Brownian sphere.