Aperiodische Strukturen kollabieren nie: Fibonacci-Hierarchien für verlustfreie Kompression
Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression
March 16, 2026
Autoren: Roberto Tacconelli
cs.AI
Zusammenfassung
Wir untersuchen, ob eine aperiodische Hierarchie einen strukturellen Vorteil für verlustlose Kompression gegenüber periodischen Alternativen bieten kann. Wir zeigen, dass Fibonacci-Quasikristall-Pflasterungen den Kollaps mit endlicher Tiefe vermeiden, der periodische Hierarchien betrifft: Verwendbare n-Gramm-Lookup-Positionen bleiben auf jeder Ebene ungleich Null, während periodische Pflasterungen nach O(log p) Ebenen für die Periode p kollabieren. Dies ergibt einen Vorteil der aperiodischen Hierarchie: Die Wiederverwendung des Wörterbuchs bleibt über alle Skalen hinweg verfügbar, anstatt über eine endliche Tiefe hinaus zu verschwinden. Unsere Analyse ergibt vier Hauptfolgerungen. Erstens zeigt die Golden-Cut-Kompensationseigenschaft, dass der exponentielle Abfall in der Anzahl der Positionen genau durch das exponentielle Wachstum der Phrasenlänge ausgeglichen wird, sodass die potenzielle Abdeckung skaleninvariant mit dem asymptotischen Wert φ/√5 bleibt. Zweitens zeigen wir unter Verwendung des Sturmischen Komplexitätsgesetzes p(n)=n+1, dass Fibonacci-/Sturmische Hierarchien die Effizienz der Codebuch-Abdeckung unter binären aperiodischen Pflasterungen maximieren. Drittens erreicht die resultierende Hierarchie bei langreichweitiger Abhängigkeit eine geringere Kodierungsentropie als vergleichbare periodische Hierarchien. Viertens fällt die Redundanz super-exponentiell mit der Tiefe ab, während periodische Systeme auf der Tiefe eingefroren bleiben, auf der der Kollaps auftritt. Wir validieren diese Ergebnisse mit Quasicryth, einem verlustlosen Textkompressor, der auf einer zehnstufigen Fibonacci-Hierarchie mit Phrasenlängen {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144} basiert. In kontrollierten A/B-Experimenten mit identischen Codebüchern wächst der aperiodische Vorteil gegenüber einer Period-5-Basislinie von 36.243 B bei 3 MB auf 11.089.469 B bei 1 GB an, was durch die Aktivierung tieferer Hierarchieebenen erklärt wird. Auf enwik9 erreicht Quasicryth 225.918.349 B (22,59 %), wobei 20.735.733 B durch die Fibonacci-Pflasterung im Vergleich zu keiner Pflasterung eingespart werden.
English
We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable n-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after O(log p) levels for period p. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value Wvarphi/5. Second, using the Sturmian complexity law p(n)=n+1, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from 36{,}243 B at 3 MB to 11{,}089{,}469 B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves 225{,}918{,}349 B (22.59%), with 20{,}735{,}733 B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.