Les structures apériodiques ne s'effondrent jamais : hiérarchies de Fibonacci pour la compression sans perte

Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

March 16, 2026

Auteurs: Roberto Tacconelli

cs.AI

Résumé

Nous étudions si une hiérarchie apériodique peut offrir un avantage structurel pour la compression sans perte par rapport aux alternatives périodiques. Nous montrons que les pavages de quasi-cristaux de Fibonacci évitent l'effondrement à profondeur finie qui affecte les hiérarchies périodiques : les positions utilisables pour la recherche de n-grammes restent non nulles à chaque niveau, tandis que les pavages périodiques s'effondrent après O(log p) niveaux pour une période p. Cela confère un avantage à la hiérarchie apériodique : la réutilisation du dictionnaire reste disponible à toutes les échelles au lieu de disparaître au-delà d'une profondeur finie. Notre analyse donne quatre conséquences principales. Premièrement, la propriété de Compensation Dorée montre que la décroissance exponentielle du nombre de positions est exactement équilibrée par la croissance exponentielle de la longueur des phrases, de sorte que la couverture potentielle reste invariante d'échelle avec une valeur asymptotique de φ/√5. Deuxièmement, en utilisant la loi de complexité sturmienne p(n)=n+1, nous montrons que les hiérarchies de Fibonacci/Sturmienne maximisent l'efficacité de couverture du codebook parmi les pavages apériodiques binaires. Troisièmement, sous dépendance à longue portée, la hiérarchie résultante atteint une entropie de codage inférieure à celle des hiérarchies périodiques comparables. Quatrièmement, la redondance décroît de manière super-exponentielle avec la profondeur, tandis que les systèmes périodiques restent bloqués à la profondeur où l'effondrement se produit. Nous validons ces résultats avec Quasicryth, un compresseur de texte sans perte construit sur une hiérarchie de Fibonacci à dix niveaux avec des longueurs de phrases {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. Dans des expériences A/B contrôlées avec des codebooks identiques, l'avantage apériodique par rapport à une base de référence de Période-5 croît de 36 243 o à 3 Mo à 11 089 469 o à 1 Go, ce qui s'explique par l'activation de niveaux hiérarchiques plus profonds. Sur enwik9, Quasicryth atteint 225 918 349 o (22,59 %), avec 20 735 733 o économisés grâce au pavage de Fibonacci par rapport à l'absence de pavage.

English

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable n-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after O(log p) levels for period p. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value Wvarphi/5. Second, using the Sturmian complexity law p(n)=n+1, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from 36{,}243 B at 3 MB to 11{,}089{,}469 B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves 225{,}918{,}349 B (22.59%), with 20{,}735{,}733 B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.