Апериодические структуры никогда не разрушаются: иерархии Фибоначчи для сжатия без потерь

Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

March 16, 2026

Авторы: Roberto Tacconelli

cs.AI

Аннотация

Мы изучаем, может ли апериодическая иерархия обеспечить структурное преимущество для сжатия без потерь по сравнению с периодическими альтернативами. Мы показываем, что квазикристаллические замощения Фибоначчи избегают коллапса конечной глубины, который поражает периодические иерархии: используемые позиции для поиска n-грамм остаются ненулевыми на каждом уровне, в то время как периодические замощения коллапсируют после O(log p) уровней для периода p. Это создает преимущество апериодической иерархии: повторное использование словаря остается доступным на всех масштабах вместо того, чтобы исчезать за конечной глубиной. Наш анализ дает четыре основных следствия. Во-первых, свойство Золотой Компенсации показывает, что экспоненциальный спад количества позиций точно сбалансирован экспоненциальным ростом длины фразы, поэтому потенциальное покрытие остается инвариантным к масштабу с асимптотическим значением Wvarphi/5. Во-вторых, используя закон сложности Штурма p(n)=n+1, мы показываем, что иерархии Фибоначчи/Штурма максимизируют эффективность покрытия кодовой книги среди бинарных апериодических замощений. В-третьих, при наличии дальнодействующих корреляций результирующая иерархия достигает меньшей энтропии кодирования, чем сравнимые периодические иерархии. В-четвертых, избыточность затухает сверхэкспоненциально с глубиной, тогда как периодические системы остаются заблокированными на глубине, где происходит коллапс. Мы проверяем эти результаты с помощью Quasicryth, компрессора текста без потерь, построенного на десятиуровневой иерархии Фибоначчи с длинами фраз {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. В контролируемых A/B-экспериментах с идентичными кодексами преимущество апериодической схемы над базовым периодом-5 растет с 36 243 Б при 3 МБ до 11 089 469 Б при 1 ГБ, что объясняется активацией более глубоких уровней иерархии. На enwik9 Quasicryth достигает 225 918 349 Б (22.59%), при этом замощение Фибоначчи экономит 20 735 733 Б по сравнению с отсутствием замощения.

English

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable n-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after O(log p) levels for period p. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value Wvarphi/5. Second, using the Sturmian complexity law p(n)=n+1, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from 36{,}243 B at 3 MB to 11{,}089{,}469 B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves 225{,}918{,}349 B (22.59%), with 20{,}735{,}733 B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.