비주기적 구조는 절대 무너지지 않는다: 무손실 압축을 위한 피보나치 계층 구조

Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

March 16, 2026

저자: Roberto Tacconelli

cs.AI

초록

우리는 비주기적 위계 구조가 주기적 대안에 비해 무손실 압축에서 구조적 이점을 제공할 수 있는지 연구한다. 피보나치 준결정 타일링은 주기적 위계 구조에 영향을 미치는 유한 깊이 붕괴를 회피함을 보인다: 사용 가능한 n-gram 탐색 위치는 모든 수준에서 0이 아닌 값을 유지하는 반면, 주기 p에 대한 주기적 타일링은 O(log p) 수준 이후 붕괴된다. 이로 인해 비주기적 위계 구조 이점이 발생한다: 유한 깊이를 넘어 사라지는 대신 모든 규모에 걸쳐 사전 재사용이 가능하게 된다. 우리의 분석은 네 가지 주요 결과를 제공한다. 첫째, Golden Compensation 특성은 위치 수의 지수적 감소가 구문 길이의 지수적 성장과 정확히 균형을 이룸을 보여주므로 잠재적 커버리지는 점근값 Wvarphi/5로 규모 불변성을 유지한다. 둘째, Sturmian 복잡도 법칙 p(n)=n+1을 사용하여 피보나치/Sturmian 위계 구조가 이진 비주기적 타일링 중 코드북 커버리지 효율을 극대화함을 보인다. 셋째, 장기 상관관계 하에서 결과적 위계 구조는 상응하는 주기적 위계 구조보다 낮은 코딩 엔트로피를 달성한다. 넷째, 중복성은 깊이에 따라 초지수적으로 감소하는 반면, 주기적 시스템은 붕괴가 발생하는 깊이에 고정된다. 우리는 이러한 결과를 구문 길이 {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}의 10단계 피보나치 위계 구조를 기반으로 구축된 무손실 텍스트 압축기 Quasicryth로 검증한다. 동일한 코드북을 사용한 통제된 A/B 실험에서, Period-5 기준선 대비 비주기적 이점은 3MB에서 36,243B부터 1GB에서 11,089,469B까지 증가하며, 이는 더 깊은 위계 수준의 활성화로 설명된다. enwik9에서 Quasicryth는 225,918,349B(22.59%)를 달성하며, 타일링 미사용 대비 피보나치 타일링으로 20,735,733B를 절약한다.

English

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable n-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after O(log p) levels for period p. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value Wvarphi/5. Second, using the Sturmian complexity law p(n)=n+1, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from 36{,}243 B at 3 MB to 11{,}089{,}469 B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves 225{,}918{,}349 B (22.59%), with 20{,}735{,}733 B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.