Estructuras aperiódicas que nunca colapsan: jerarquías de Fibonacci para compresión sin pérdidas

Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

March 16, 2026

Autores: Roberto Tacconelli

cs.AI

Resumen

Estudiamos si una jerarquía aperiódica puede ofrecer una ventaja estructural para la compresión sin pérdidas frente a alternativas periódicas. Demostramos que los teselados de cuasicristales de Fibonacci evitan el colapso de profundidad finita que afecta a las jerarquías periódicas: las posiciones utilizables de búsqueda de n-gramas permanecen distintas de cero en cada nivel, mientras que los teselados periódicos colapsan después de O(log p) niveles para un período p. Esto produce una ventaja de la jerarquía aperiódica: la reutilización del diccionario permanece disponible en todas las escalas en lugar de desaparecer más allá de una profundidad finita. Nuestro análisis arroja cuatro consecuencias principales. Primero, la propiedad de Compensación Áurea muestra que la decadencia exponencial en el número de posiciones se compensa exactamente con el crecimiento exponencial en la longitud de frase, por lo que la cobertura potencial permanece invariante en escala con un valor asintótico de Wvarphi/5. Segundo, usando la ley de complejidad estúrmica p(n)=n+1, demostramos que las jerarquías Fibonacci/Estúrmicas maximizan la eficiencia de cobertura del libro de códigos entre los teselados aperiódicos binarios. Tercero, bajo dependencia de largo alcance, la jerarquía resultante logra una entropía de codificación menor que las jerarquías periódicas comparables. Cuarto, la redundancia decae de manera superexponencial con la profundidad, mientras que los sistemas periódicos permanecen bloqueados en la profundidad donde ocurre el colapso. Validamos estos resultados con Quasicryth, un compresor de texto sin pérdidas construido sobre una jerarquía de Fibonacci de diez niveles con longitudes de frase {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. En experimentos controlados A/B con libros de códigos idénticos, la ventaja aperiódica sobre una línea base de Período-5 crece de 36{,}243 B a 3 MB a 11{,}089{,}469 B a 1 GB, explicado por la activación de niveles más profundos de la jerarquía. En enwik9, Quasicryth logra 225{,}918{,}349 B (22.59%), ahorrando 20{,}735{,}733 B gracias al teselado de Fibonacci en comparación con no usar teselado.

English

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable n-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after O(log p) levels for period p. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value Wvarphi/5. Second, using the Sturmian complexity law p(n)=n+1, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from 36{,}243 B at 3 MB to 11{,}089{,}469 B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves 225{,}918{,}349 B (22.59%), with 20{,}735{,}733 B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.