非周期的構造は決して崩壊しない：ロスレス圧縮のためのフィボナッチ階層

Aperiodic Structures Never Collapse: Fibonacci Hierarchies for Lossless Compression

March 16, 2026

著者: Roberto Tacconelli

cs.AI

要旨

非周期階層が、周期的代替構造に対してロスレス圧縮において構造的優位性を提供し得るかどうかを検討する。我々は、フィボナッチ準結晶タイル張りが周期的階層に影響する有限深度崩壊を回避することを示す：使用可能なn-gram検索位置はあらゆるレベルで非ゼロのまま維持されるが、周期pに対する周期的タイル張りはO(log p)レベル後に崩壊する。これにより非周期階層の優位性が生じる：辞書の再利用性は有限深度を超えて消失するのではなく、すべてのスケールにわたって利用可能であり続ける。我々の分析は4つの主要な帰結をもたらす。第一に、黄金補償特性により、位置数の指数的減少は句長の指数的増加によって正確に均衡され、潜在的なカバレッジは漸近値Wφ/5でスケール不変性を維持する。第二に、Sturmian複雑性法則p(n)=n+1を用いて、フィボナッチ/Sturmian階層が二元非周期タイル張りの中でコードブックカバレッジ効率を最大化することを示す。第三に、長距離依存性の下では、結果として生じる階層は同等の周期的階層よりも低い符号化エントロピーを達成する。第四に、冗長性は深度とともに超指数的に減衰するが、周期系は崩壊が発生する深度でロックされたままとなる。これらの結果を、句長{2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}の10段階フィボナッチ階層に基づくロスレステキスト圧縮器Quasicrythで検証する。同一コードブックを用いた制御A/B実験では、周期5ベースラインに対する非周期優位性は、3MBで36,243バイトから、より深い階層レベルの活性化により1GBで11,089,469バイトに増大する。enwik9において、Quasicrythは225,918,349バイト（22.59%）を達成し、タイル張りなしと比較してフィボナッチタイル張りにより20,735,733バイトが節約された。

English

We study whether an aperiodic hierarchy can provide a structural advantage for lossless compression over periodic alternatives. We show that Fibonacci quasicrystal tilings avoid the finite-depth collapse that affects periodic hierarchies: usable n-gram lookup positions remain non-zero at every level, while periodic tilings collapse after O(log p) levels for period p. This yields an aperiodic hierarchy advantage: dictionary reuse remains available across all scales instead of vanishing beyond a finite depth. Our analysis gives four main consequences. First, the Golden Compensation property shows that the exponential decay in the number of positions is exactly balanced by the exponential growth in phrase length, so potential coverage remains scale-invariant with asymptotic value Wvarphi/5. Second, using the Sturmian complexity law p(n)=n+1, we show that Fibonacci/Sturmian hierarchies maximize codebook coverage efficiency among binary aperiodic tilings. Third, under long-range dependence, the resulting hierarchy achieves lower coding entropy than comparable periodic hierarchies. Fourth, redundancy decays super-exponentially with depth, whereas periodic systems remain locked at the depth where collapse occurs. We validate these results with Quasicryth, a lossless text compressor built on a ten-level Fibonacci hierarchy with phrase lengths {2,3,5,8,13,21,34,55,89,144}. In controlled A/B experiments with identical codebooks, the aperiodic advantage over a Period-5 baseline grows from 36{,}243 B at 3 MB to 11{,}089{,}469 B at 1 GB, explained by the activation of deeper hierarchy levels. On enwik9, Quasicryth achieves 225{,}918{,}349 B (22.59%), with 20{,}735{,}733 B saved by the Fibonacci tiling relative to no tiling.