Modellbasierte und probeneffiziente KI-gestützte mathematische Entdeckung in der Kugelpackung
Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing
December 4, 2025
papers.authors: Rasul Tutunov, Alexandre Maraval, Antoine Grosnit, Xihan Li, Jun Wang, Haitham Bou-Ammar
cs.AI
papers.abstract
Die Kugelpackung, Hilberts achtzehntes Problem, fragt nach der dichtesten Anordnung kongruenter Kugeln im n-dimensionalen euklidischen Raum. Obwohl das Problem für Bereiche wie Kryptographie, Kristallographie und medizinische Bildgebung relevant ist, bleibt es ungelöst: Abgesehen von einigen speziellen Dimensionen sind weder optimale Packungen noch scharfe obere Schranken bekannt. Selbst ein bedeutender Durchbruch in Dimension n=8, der später mit einer Fields-Medaille ausgezeichnet wurde, unterstreicht seine Schwierigkeit. Eine führende Methode für obere Schranken, die Drei-Punkt-Methode, reduziert das Problem auf die Lösung großer, hochpräziser semidefiniter Programme (SDPs). Da die Auswertung jedes Kandidaten-SDPs Tage dauern kann, sind standardmäßige datenintensive KI-Ansätze nicht durchführbar. Wir begegnen dieser Herausforderung, indem wir die SDP-Konstruktion als sequenziellen Entscheidungsprozess formulieren – das SDP-Spiel, bei dem eine Policy SDP-Formulierungen aus einem Satz zulässiger Komponenten zusammenstellt. Mithilfe eines sample-effizienten, modellbasierten Frameworks, das Bayes-Optimierung mit Monte-Carlo-Baumsuche kombiniert, erzielen wir neue state-of-the-art obere Schranken in den Dimensionen 4–16 und zeigen, dass modellbasierte Suche den rechnerischen Fortschritt bei langjährigen geometrischen Problemen vorantreiben kann. Diese Ergebnisse demonstrieren gemeinsam, dass sample-effiziente, modellbasierte Suche greifbare Fortschritte bei mathematisch rigiden, auswertungslimitierten Problemen erzielen kann und damit eine komplementäre Richtung für KI-unterstützte Entdeckung jenseits der großskaligen, LLM-gesteuerten Exploration aufzeigt.
English
Sphere packing, Hilbert's eighteenth problem, asks for the densest arrangement of congruent spheres in n-dimensional Euclidean space. Although relevant to areas such as cryptography, crystallography, and medical imaging, the problem remains unresolved: beyond a few special dimensions, neither optimal packings nor tight upper bounds are known. Even a major breakthrough in dimension n=8, later recognised with a Fields Medal, underscores its difficulty. A leading technique for upper bounds, the three-point method, reduces the problem to solving large, high-precision semidefinite programs (SDPs). Because each candidate SDP may take days to evaluate, standard data-intensive AI approaches are infeasible. We address this challenge by formulating SDP construction as a sequential decision process, the SDP game, in which a policy assembles SDP formulations from a set of admissible components. Using a sample-efficient model-based framework that combines Bayesian optimisation with Monte Carlo Tree Search, we obtain new state-of-the-art upper bounds in dimensions 4-16, showing that model-based search can advance computational progress in longstanding geometric problems. Together, these results demonstrate that sample-efficient, model-based search can make tangible progress on mathematically rigid, evaluation limited problems, pointing towards a complementary direction for AI-assisted discovery beyond large-scale LLM-driven exploration.