球面充填におけるモデルベースかつサンプル効率の良いAI支援数学発見

要旨

球体充填問題、すなわちヒルベルトの第18問題は、n次元ユークリッド空間における合同な球体の最密充填構造を問うものである。暗号理論、結晶学、医療画像処理などの分野と関連するにもかかわらず、この問題は未解決のままであり、いくつかの特殊な次元を除けば、最適な充填構造も厳密な上限も知られていない。8次元における画期的な進展（後にフィールズ賞の対象となった）ですら、この問題の困難さを物語っている。上限値を求める主要な手法である三点法は、この問題を大規模で高精度な半正定値計画問題（SDP）を解くことに帰着させる。各SDP候補の評価に数日を要する可能性があるため、データ集約型の標準的なAIアプローチは非現実的である。本研究では、SDPの構築を逐次決定過程（SDPゲーム）として定式化し、ポリシーが許容コンポーネントの集合からSDPの定式化を組み立てることでこの課題に取り組む。ベイズ最適化とモンテカルロ木探索を組み合わせたサンプル効率の高いモデルベース枠組みを用いることで、4次元から16次元において新たな状態-of-the-artの上限値を得て、モデルベース探索が長年未解決の幾何学問題における計算的進展を促進し得ることを示す。これらの結果は総じて、サンプル効率が高くモデルベースの探索が、数学的に厳密で評価回数が限られた問題に対しても確かな進展をもたらし得ることを実証しており、大規模LLM主導の探査とは補完的な、AI支援による発見の新たな方向性を示唆している。

English

Sphere packing, Hilbert's eighteenth problem, asks for the densest arrangement of congruent spheres in n-dimensional Euclidean space. Although relevant to areas such as cryptography, crystallography, and medical imaging, the problem remains unresolved: beyond a few special dimensions, neither optimal packings nor tight upper bounds are known. Even a major breakthrough in dimension n=8, later recognised with a Fields Medal, underscores its difficulty. A leading technique for upper bounds, the three-point method, reduces the problem to solving large, high-precision semidefinite programs (SDPs). Because each candidate SDP may take days to evaluate, standard data-intensive AI approaches are infeasible. We address this challenge by formulating SDP construction as a sequential decision process, the SDP game, in which a policy assembles SDP formulations from a set of admissible components. Using a sample-efficient model-based framework that combines Bayesian optimisation with Monte Carlo Tree Search, we obtain new state-of-the-art upper bounds in dimensions 4-16, showing that model-based search can advance computational progress in longstanding geometric problems. Together, these results demonstrate that sample-efficient, model-based search can make tangible progress on mathematically rigid, evaluation limited problems, pointing towards a complementary direction for AI-assisted discovery beyond large-scale LLM-driven exploration.

球面充填におけるモデルベースかつサンプル効率の良いAI支援数学発見

Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing

要旨

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