Модельно-ориентированное и ресурсоэффективное открытие математических закономерностей в задаче упаковки сфер с использованием искусственного интеллекта

Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing

December 4, 2025

Авторы: Rasul Tutunov, Alexandre Maraval, Antoine Grosnit, Xihan Li, Jun Wang, Haitham Bou-Ammar

cs.AI

Аннотация

Проблема упаковки сфер, восемнадцатая проблема Гильберта, ставит вопрос о наиболее плотном расположении конгруэнтных сфер в n-мерном евклидовом пространстве. Хотя проблема имеет значение для таких областей, как криптография, кристаллография и медицинская визуализация, она остаётся нерешённой: за пределами нескольких специальных размерностей не известны ни оптимальные упаковки, ни точные верхние границы. Даже крупный прорыв в размерности n=8, впоследствии отмеченный Филдсовской премией, подчёркивает её сложность. Ведущий метод получения верхних границ, метод трёх точек, сводит проблему к решению больших полуопределённых программ (SDP) высокой точности. Поскольку оценка каждой кандидатной SDP может занимать дни, стандартные подходы ИИ, требующие больших данных, неприменимы. Мы решаем эту задачу, формулируя построение SDP как последовательный процесс принятия решений — игру SDP, в которой политика собирает формулировки SDP из набора допустимых компонентов. Используя эффективный по выборке модельно-ориентированный фреймворк, сочетающий байесовскую оптимизацию с поиском по дереву Монте-Карло, мы получаем новые наилучшие верхние границы в размерностях 4–16, показывая, что модельно-ориентированный поиск может способствовать вычислительному прогрессу в давних геометрических проблемах. В совокупности эти результаты демонстрируют, что эффективный по выборке модельно-ориентированный поиск может обеспечить ощутимый прогресс в математически жёстких задачах с ограниченной оценкой, указывая на дополнительное направление для открытий с помощью ИИ помимо крупномасштабных исследований на основе больших языковых моделей.

English

Sphere packing, Hilbert's eighteenth problem, asks for the densest arrangement of congruent spheres in n-dimensional Euclidean space. Although relevant to areas such as cryptography, crystallography, and medical imaging, the problem remains unresolved: beyond a few special dimensions, neither optimal packings nor tight upper bounds are known. Even a major breakthrough in dimension n=8, later recognised with a Fields Medal, underscores its difficulty. A leading technique for upper bounds, the three-point method, reduces the problem to solving large, high-precision semidefinite programs (SDPs). Because each candidate SDP may take days to evaluate, standard data-intensive AI approaches are infeasible. We address this challenge by formulating SDP construction as a sequential decision process, the SDP game, in which a policy assembles SDP formulations from a set of admissible components. Using a sample-efficient model-based framework that combines Bayesian optimisation with Monte Carlo Tree Search, we obtain new state-of-the-art upper bounds in dimensions 4-16, showing that model-based search can advance computational progress in longstanding geometric problems. Together, these results demonstrate that sample-efficient, model-based search can make tangible progress on mathematically rigid, evaluation limited problems, pointing towards a complementary direction for AI-assisted discovery beyond large-scale LLM-driven exploration.