Descubrimiento Matemático Asistido por IA Basado en Modelos y Eficiente en Muestras en Empaquetamiento de Esferas
Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing
December 4, 2025
Autores: Rasul Tutunov, Alexandre Maraval, Antoine Grosnit, Xihan Li, Jun Wang, Haitham Bou-Ammar
cs.AI
Resumen
El empaquetamiento de esferas, decimoctavo problema de Hilbert, busca la disposición más densa de esferas congruentes en el espacio euclidiano n-dimensional. Aunque es relevante para áreas como la criptografía, la cristalografía y las imágenes médicas, el problema sigue sin resolverse: más allá de algunas dimensiones especiales, no se conocen ni empaquetamientos óptimos ni cotas superiores ajustadas. Incluso un avance importante en la dimensión n=8, posteriormente reconocido con una Medalla Fields, subraya su dificultad. Una técnica líder para las cotas superiores, el método de tres puntos, reduce el problema a resolver grandes programas semidefinidos (SDP) de alta precisión. Dado que cada SDP candidato puede tardar días en evaluarse, los enfoques estándar de IA intensivos en datos son inviables. Abordamos este desafío formulando la construcción de SDP como un proceso de decisión secuencial, el juego SDP, en el que una política ensambla formulaciones de SDP a partir de un conjunto de componentes admisibles. Utilizando un marco eficiente en muestras basado en modelos que combina la optimización bayesiana con la Búsqueda en Árbol de Montecarlo, obtenemos nuevas cotas superiores de vanguardia en las dimensiones 4-16, mostrando que la búsqueda basada en modelos puede impulsar el progreso computacional en problemas geométricos de larga data. En conjunto, estos resultados demuestran que la búsqueda eficiente en muestras y basada en modelos puede lograr progresos tangibles en problemas matemáticamente rígidos y con evaluación limitada, señalando una dirección complementaria para el descubrimiento asistido por IA más allá de la exploración a gran escala impulsada por LLM.
English
Sphere packing, Hilbert's eighteenth problem, asks for the densest arrangement of congruent spheres in n-dimensional Euclidean space. Although relevant to areas such as cryptography, crystallography, and medical imaging, the problem remains unresolved: beyond a few special dimensions, neither optimal packings nor tight upper bounds are known. Even a major breakthrough in dimension n=8, later recognised with a Fields Medal, underscores its difficulty. A leading technique for upper bounds, the three-point method, reduces the problem to solving large, high-precision semidefinite programs (SDPs). Because each candidate SDP may take days to evaluate, standard data-intensive AI approaches are infeasible. We address this challenge by formulating SDP construction as a sequential decision process, the SDP game, in which a policy assembles SDP formulations from a set of admissible components. Using a sample-efficient model-based framework that combines Bayesian optimisation with Monte Carlo Tree Search, we obtain new state-of-the-art upper bounds in dimensions 4-16, showing that model-based search can advance computational progress in longstanding geometric problems. Together, these results demonstrate that sample-efficient, model-based search can make tangible progress on mathematically rigid, evaluation limited problems, pointing towards a complementary direction for AI-assisted discovery beyond large-scale LLM-driven exploration.