Découverte mathématique assistée par l'intelligence artificielle, basée sur des modèles et économe en échantillons, dans l'empilement de sphères

Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing

December 4, 2025

papers.authors: Rasul Tutunov, Alexandre Maraval, Antoine Grosnit, Xihan Li, Jun Wang, Haitham Bou-Ammar

cs.AI

papers.abstract

L'empilement de sphères, dix-huitième problème de Hilbert, interroge sur l'arrangement le plus dense de sphères congruentes dans l'espace euclidien à n dimensions. Bien que pertinent pour des domaines tels que la cryptographie, la cristallographie et l'imagerie médicale, le problème reste non résolu : au-delà de quelques dimensions particulières, ni les empilements optimaux ni les bornes supérieures strictes ne sont connus. Même une percée majeure en dimension n=8, ultérieurement récompensée par une médaille Fields, souligne sa difficulté. Une technique principale pour les bornes supérieures, la méthode des trois points, réduit le problème à la résolution de larges programmes semi-définis (SDP) de haute précision. Comme chaque SDP candidat peut nécessiter des jours d'évaluation, les approches standards d'IA basées sur les données sont irréalisables. Nous relevons ce défi en formulant la construction des SDP comme un processus décisionnel séquentiel, le jeu SDP, dans lequel une politique assemble des formulations SDP à partir d'un ensemble de composants admissibles. En utilisant un cadre efficace par échantillonnage et basé sur un modèle qui combine l'optimisation bayésienne avec la recherche arborescente Monte-Carlo, nous obtenons de nouvelles bornes supérieures state-of-the-art dans les dimensions 4 à 16, montrant que la recherche basée sur un modèle peut faire progresser le calcul sur des problèmes géométriques de longue date. Ensemble, ces résultats démontrent qu'une recherche efficace par échantillonnage et basée sur un modèle peut accomplir des progrès tangibles sur des problèmes mathématiquement rigides à l'évaluation limitée, indiquant une direction complémentaire pour la découverte assistée par l'IA au-delà de l'exploration à grande scale pilotée par les LLM.

English

Sphere packing, Hilbert's eighteenth problem, asks for the densest arrangement of congruent spheres in n-dimensional Euclidean space. Although relevant to areas such as cryptography, crystallography, and medical imaging, the problem remains unresolved: beyond a few special dimensions, neither optimal packings nor tight upper bounds are known. Even a major breakthrough in dimension n=8, later recognised with a Fields Medal, underscores its difficulty. A leading technique for upper bounds, the three-point method, reduces the problem to solving large, high-precision semidefinite programs (SDPs). Because each candidate SDP may take days to evaluate, standard data-intensive AI approaches are infeasible. We address this challenge by formulating SDP construction as a sequential decision process, the SDP game, in which a policy assembles SDP formulations from a set of admissible components. Using a sample-efficient model-based framework that combines Bayesian optimisation with Monte Carlo Tree Search, we obtain new state-of-the-art upper bounds in dimensions 4-16, showing that model-based search can advance computational progress in longstanding geometric problems. Together, these results demonstrate that sample-efficient, model-based search can make tangible progress on mathematically rigid, evaluation limited problems, pointing towards a complementary direction for AI-assisted discovery beyond large-scale LLM-driven exploration.