구 패킹에서 모델 기반 및 표본 효율적인 AI 지원 수학 발견

초록

구체 채우기 문제는 n차원 유클리드 공간에서 합동인 구들을 가장 조밀하게 배열하는 방법을 묻는 힐베르트의 18번 문제이다. 암호학, 결정학, 의료 영상 등의 분야와 관련이 있음에도 불구하고, 이 문제는 여전히 미해결된 상태다. 특정 차원 몇 개를 제외하면 최적 채우기나 빡빡한 상한도 알려져 있지 않다. 8차원에서의 주요 돌파구가 훗날 필즈상으로 인정된 것조차 이 문제의 난이도를 강조한다. 상한을 구하는 주요 기법인 삼점법은 이 문제를 거대하고 고정밀의 준정부호 계획법 문제를 푸는 것으로 환원한다. 각 후보 SDP를 평가하는 데 며칠이 걸릴 수 있기 때문에 표준적인 데이터 집약적 AI 접근법은 실현 불가능하다. 우리는 SDP 구성을 SDP 게임이라는 순차적 의사 결정 과정으로 공식화하여 이 난과제에 접근한다. 여기서 정책은 허용 가능한 구성 요소 집합에서 SDP 공식을 조립한다. 베이지안 최적화와 몬테카를로 트리 탐색을 결합한 샘플 효율적인 모델 기반 프레임워크를 사용하여 4-16차원에서 새로운 최첨단 상한을 얻었으며, 모델 기반 탐색이 오랜 기하학적 문제에서 계산적 진전을 이끌어낼 수 있음을 보여준다. 이러한 결과들은 함께, 샘플 효율적인 모델 기반 탐색이 수학적으로 엄격하고 평가가 제한된 문제에 대해 실질적인 진전을 이룰 수 있음을 입증하며, 대규모 LLM 주도 탐색을 넘어 AI 지원 발견을 위한 보완적인 방향을 제시한다.

English

Sphere packing, Hilbert's eighteenth problem, asks for the densest arrangement of congruent spheres in n-dimensional Euclidean space. Although relevant to areas such as cryptography, crystallography, and medical imaging, the problem remains unresolved: beyond a few special dimensions, neither optimal packings nor tight upper bounds are known. Even a major breakthrough in dimension n=8, later recognised with a Fields Medal, underscores its difficulty. A leading technique for upper bounds, the three-point method, reduces the problem to solving large, high-precision semidefinite programs (SDPs). Because each candidate SDP may take days to evaluate, standard data-intensive AI approaches are infeasible. We address this challenge by formulating SDP construction as a sequential decision process, the SDP game, in which a policy assembles SDP formulations from a set of admissible components. Using a sample-efficient model-based framework that combines Bayesian optimisation with Monte Carlo Tree Search, we obtain new state-of-the-art upper bounds in dimensions 4-16, showing that model-based search can advance computational progress in longstanding geometric problems. Together, these results demonstrate that sample-efficient, model-based search can make tangible progress on mathematically rigid, evaluation limited problems, pointing towards a complementary direction for AI-assisted discovery beyond large-scale LLM-driven exploration.

구 패킹에서 모델 기반 및 표본 효율적인 AI 지원 수학 발견

Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing

초록

Support