DiffusionPDE: Generatives Lösen von partiell beobachteten partiellen Differentialgleichungen

DiffusionPDE: Generative PDE-Solving Under Partial Observation

June 25, 2024

Autoren: Jiahe Huang, Guandao Yang, Zichen Wang, Jeong Joon Park

cs.AI

Zusammenfassung

Wir stellen ein allgemeines Rahmenwerk zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen (PDEs) unter Verwendung generativer Diffusionsmodelle vor. Insbesondere konzentrieren wir uns auf Szenarien, in denen wir nicht über das vollständige Wissen über die Szene verfügen, das für die Anwendung klassischer Lösungsverfahren erforderlich ist. Die meisten bestehenden Vorwärts- oder inversen PDE-Ansätze erzielen schlechte Leistungen, wenn die Beobachtungen der Daten oder der zugrunde liegenden Koeffizienten unvollständig sind, was eine häufige Annahme für Messungen in der realen Welt ist. In dieser Arbeit schlagen wir DiffusionPDE vor, das gleichzeitig fehlende Informationen ergänzen und eine PDE lösen kann, indem die gemeinsame Verteilung der Lösungs- und Koeffizientenräume modelliert wird. Wir zeigen, dass die erlernten generativen Prioritäten zu einem vielseitigen Rahmenwerk führen, um eine breite Palette von PDEs unter partieller Beobachtung genau zu lösen und dabei die Methoden des aktuellen Standes der Technik sowohl für Vorwärts- als auch für inverse Richtungen deutlich zu übertreffen.

English

We introduce a general framework for solving partial differential equations (PDEs) using generative diffusion models. In particular, we focus on the scenarios where we do not have the full knowledge of the scene necessary to apply classical solvers. Most existing forward or inverse PDE approaches perform poorly when the observations on the data or the underlying coefficients are incomplete, which is a common assumption for real-world measurements. In this work, we propose DiffusionPDE that can simultaneously fill in the missing information and solve a PDE by modeling the joint distribution of the solution and coefficient spaces. We show that the learned generative priors lead to a versatile framework for accurately solving a wide range of PDEs under partial observation, significantly outperforming the state-of-the-art methods for both forward and inverse directions.