Диффузионное уравнение: генеративное решение уравнений в частично наблюдаемых условиях

DiffusionPDE: Generative PDE-Solving Under Partial Observation

June 25, 2024

Авторы: Jiahe Huang, Guandao Yang, Zichen Wang, Jeong Joon Park

cs.AI

Аннотация

Мы представляем общую структуру для решения уравнений в частных производных (УЧП) с использованием генеративных моделей диффузии. В частности, мы сосредотачиваемся на сценариях, где у нас нет полной информации о сцене, необходимой для применения классических решателей. Большинство существующих методов прямого или обратного решения УЧП плохо справляются, когда наблюдения за данными или основными коэффициентами неполны, что является распространенным предположением для измерений в реальном мире. В данной работе мы предлагаем DiffusionPDE, который может одновременно заполнять отсутствующую информацию и решать УЧП, моделируя совместное распределение пространств решения и коэффициентов. Мы показываем, что изученные генеративные априорные распределения приводят к универсальной структуре для точного решения широкого спектра УЧП при частичном наблюдении, значительно превосходящей современные методы как в прямом, так и в обратном направлении.

English

We introduce a general framework for solving partial differential equations (PDEs) using generative diffusion models. In particular, we focus on the scenarios where we do not have the full knowledge of the scene necessary to apply classical solvers. Most existing forward or inverse PDE approaches perform poorly when the observations on the data or the underlying coefficients are incomplete, which is a common assumption for real-world measurements. In this work, we propose DiffusionPDE that can simultaneously fill in the missing information and solve a PDE by modeling the joint distribution of the solution and coefficient spaces. We show that the learned generative priors lead to a versatile framework for accurately solving a wide range of PDEs under partial observation, significantly outperforming the state-of-the-art methods for both forward and inverse directions.